- •Тема 1. Случайные события
- •2 Алгебра событий.
- •3 Определения вероятности события.
- •4 Элементы комбинаторики
- •1 Теоремы сложения вероятностей.
- •4 Формула полной вероятности. Формула вероятности гипотез.
- •Тема 2. Повторные независимые испытания
- •2 Наивероятнейшее число наступлений события в независимых испытаниях.
- •3 Локальная теорема Муавра-Лапласа.
- •4 Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пуассоновское приближение
- •Тема 3. Дискретные случайные величины
- •2 Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
- •3 Математическое ожидание и его свойства.
- •4 Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства
- •5 Одинаково распределенные взаимно-независимые случайные величины
- •Тема 4. Непрерывные случайные величины
- •2)Дифференциальная функция (плотность распределения) непрерывной случайной величины и ее свойства.
- •Тема 5. Основные законы распределения случайных величин
- •1. Основные законы распределения дискретных случайных величин.
- •2) Равномерное распределение
- •Тема 6. Функции случайных величин и векторов
- •2) Композиция законов распределения
- •3) Специальные законы распределения
- •Тема 7. Многомерные случайные величины
- •2)Функции распределения многомерной случайной величины.
- •3)Вероятность попадания двумерной случайной величины в полуполосу и прямоугольник.
- •4)Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Тема 8. Закон больших чисел
- •2)Неравенство и теорема Чебышева
- •3)Понятие о центральной предельной теореме
- •Часть II. Математическая статистика
- •Тема 10. Вариационные ряды распределения
- •1) Понятие и виды вариационных рядов распределения.
- •2) Графическое изображение рядов распределения и связь между ними.
- •1) Понятие и виды вариационных рядов распределения
- •2) Графическое изображение рядов распределения и связь между ними.
- •1) Средняя арифметическая и ее свойства.
- •2) Дисперсия ряда распределения и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
- •3)Моменты ряда распределения и связь между ними
- •Тема 11. Выборочный метод
- •2)Статистические оценки выборочной совокупности и их свойства.
- •3) Точечные и интервальные оценки.
- •Тема 12. Проверка статистических гипотез
- •1)Понятие и виды статистических гипотез.
- •2)Статистический критерий проверки гипотез.
- •3)Уровень значимости. Мощность критерия.
- •2)Статистический критерий проверки гипотез
- •Тема 13. Дисперсионный анализ
- •1)Понятие и модели дисперсионного анализа.
- •2)Однофакторный дисперсионный анализ.
- •1)Понятие и модели дисперсионного анализа.
- •2)Однофакторный дисперсионный анализ.
- •4.1.2.3. Двухфакторный дисперсионный анализ. Факторы а и в
- •Тема 14. Корреляционно-регрессионный анализ
- •1)Понятие корреляционной зависимости.
- •2) Оценка методом наименьших квадратов коэффициентов регрессии
- •Тема 15. Статистический анализ временных рядов
- •1)Понятие экономического временного ряда и его составляющие.
- •2)Тренд динамического ряда.
- •2)Тренд динамического ряда
3) Точечные и интервальные оценки.
Различают точечные и интервальные оценки.
Точечная оценка характеристики генеральной совокупности - это число, определяемое по выборке. Точечные оценки получают обычно с помощью метода моментов и метода максимального правдоподобия.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами- границами интервала. Она позволяет ответить на вопрос: внутри какого интервала и с какой вероятностью находится неизвестное значение оцениваемого параметра генеральной совокупности.
Пусть точечная оценка параметраЧем меньше разностьитем точнее и лучше оценка. Обычно говорят о доверительной вероятности (надежности оценки)p=1-, с которойбудет находиться в интервале, где: Δ(Δ >0) –предельная ошибка выборки, которая может быть либо задана наперёд, либо вычислена; α - риск или уровень значимости (вероятность того, что неравенство будет неверным). Оценка указанного доверительного интервала может быть получена (с наименьшей вероятностью) с помощью неравенства Чебышева (при). В качествепринимают значения 0,90; 0,95; 0,99; 0,999. Доверительная вероятность показывает, что в
(1-α)100% случаев оценка будет накрываться указанным интервалом.
Точечная оценка математического ожидания M(X)=aопределяется как средняя арифметическая:
(10.3)
Точечная оценка вероятности piопределяется как относительная частота:
. (10.4)
Лекция 2. Вопросы
Определение доверительного интервала для средней и доли при случайном и типическом отборе.
Определение необходимой численности выборки.
Для построения доверительного интервала параметра a – математического ожидания нормального распределения составляют выборочную характеристику (статистику), функционально зависимую от наблюдений и связанную с a, например, для повторного отбора:
. (10.5)
Статистика u распределена по нормальному закону распределения с математическим ожиданием a= 0 и средним квадратическим отклонением=1. Отсюда,
где Ф − функция Лапласа, uα/2− квантиль нормального закона распределения, соответствующая уровню значимости. Доверительный интервал для параметра а:
< a<, (10.6)
где - предельная ошибка выборочной средней.
Формулы предельной ошибки и необходимого объема выборки
для различных способов отбора В таблице:
1) t – квантиль распределения, соответствующая уровню значимости ,
а) при n30 t=u/2- квантиль нормального закона распределения (прил.1),
б) при n<30 t - квантиль распределения Стьюдента с ν=n-1 степенями свободы для двусторонней области (прил.3);
2) 2– выборочная дисперсия,
а) при n30,
б) при n<30 вместо 2берут;
3) pq - дисперсия относительной частоты в схеме повторных независимых испытаний;
4) N - объем генеральной совокупности;
5) n - объем выборки;
6) - средняя арифметическая групповых дисперсий (внутригрупповая дисперсия);
Выборка |
Собственно-случайная |
Типическая |
Серийная | ||||
повторная |
бесповторная |
повторная |
бесповторная |
повторная |
Бесповторная | ||
Предельная ошибка, |
средней, | ||||||
доли, | |||||||
Необходимая численность, n |
средней, | ||||||
доли, |
7) - средняя арифметическая дисперсий групповых долей;
8) 2м.с. - межсерийная дисперсия;
9) pqм.с.- межсерийная дисперсия доли;
10) Nc- число серий в генеральной совокупности;11) nc- число отобранных серий (объем выборки);12)- предельная ошибка выборки (или).