Тема 11. Выборочный метод

Лекция 1. Вопросы:

1) Генеральная и выборочная совокупность.

2)Статистические оценки выборочной совокупности и их свойства.

3) Точечные и интервальные оценки.

1) Генеральная и выборочная совокупность.

Вся подлежащая исследованию совокупность объектов называется генеральной совокупностью. В реальных условиях обычно бывает трудно или экономически нецелесообразно, а иногда и невозможно, исследовать всю совокупность, характеризующую изучаемый признак. Поэтому на практике широко применяется выборочное наблюдение, когда обследуется часть генеральной совокупности. Эта отобранная часть и подлежащая изучению называется выборочной совокупностью. Чтобы по результатам выборки можно было достаточно точно судить о параметрах генеральной совокупности она должна формироваться случайным образом. При этом достигается равная вероятность попадания каждой единицы генеральной совокупности в выборку. Свойства (закон распределения и его параметры) генеральной совокупности неизвестны, поэтому возникает задача их оценки по выборке. Для получения хороших оценок характеристик генеральной совокупности необходимо, чтобы выборка была репрезентативной (представительной). Репрезентативная выборка хорошо воспроизводит генеральную совокупность. При проведении выборки возможны ошибки регистрации и репрезентативности. Ошибки регистрации – это неточности ,возникающие при получении данных от каждой единицы совокупности. Ошибки репрезентативности – это расхождения между характеристиками генеральной и выборочной совокупности.

Различают 5 основных типов выборок.

1) Собственно-случайная:

а) повторная (элементы после выбора возвращаются обратно);

б) бесповторная (выбранные элементы не возвращаются).

2) Типическая – генеральная совокупность предварительно разбивается на группы типических элементов, и выборка осуществляется из каждой. Следует различать:

а) равномерные выборки (при равенстве объемов исходных групп в генеральной совокупности выбирается одинаковое количество элементов из каждой);

б) пропорциональные (численность выборок формируют пропорционально численностям или средним квадратическим отклонениям групп генеральной совокупности);

в) комбинированные (численность выборок пропорциональна и средним квадратическим отклонениям, и численностям групп генеральной совокупности).

3) Механическая – отбор элементов проводится через определенный интервал.

4) Серийная – отбор проводится не по одному элементу, а сериями для проведения сплошного обследования.

5) Комбинированная – используются различные комбинации вышеуказанных методов, например, типическая выборка сочетается с механической и собственно случайной.

После осуществления выборки возникает задача оценки числовых характеристик генеральной совокупности по элементам выборочной совокупности.

2)Статистические оценки выборочной совокупности и их свойства.

Важнейшей задачей выборочного метода является оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки.

Пусть- выборочная характеристика, вычисленная по результатамnнаблюдений величины Х, используемая в качестве оценки- характеристики генеральной совокупности (в качествеможет бытьM(X),D(X) и т.д.).

Качество оценки устанавливается по трем свойствам: состоятельность, несмещенность, эффективность.

1. Состоятельность. Оценка является состоятельной оценкой генеральной характеристики, если для любого ε > 0 выполняется следующее равенство

Это означает, что при увеличении объема выборки n выборочная характеристика .

2. Несмещенность. Оценка генеральной характеристикиназывается несмещенной, если для любого фиксированного числа наблюденийnвыполняется равенство.

3. Эффективность. Несмещенная оценка генеральной характеристикиназывается несмещенной эффективной, если среди всех подобных оценок той же характеристики она имеет наименьшую дисперсию:

D()min.

Можно показать, что статистики являются состоятельными, несмещенными и эффективными характеристиками математического ожидания M(X) и вероятности р соответственно.

Выборочная дисперсия(далее по тексту) не обладает свойством несмещенности. На практике используют исправленную выборочную дисперсию S², которая является несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности:

(10.1)

S - стандартное отклонение.

Кроме того, в расчётах используют стандартную ошибку выборки:

(10.2)