Непейвода. Прикладная логика

441

Таким образом, алгебра Линденбаума-Тарского интуиционистской те-

ории является решеткой. Более того, данная решетка дистрибутивна,

поскольку выполнены законы дистрибутивности. Но в данной решетке

есть и операция импликации, которую теперь необходимо охарактери-

зовать в терминах частично-упорядоченных множеств.

Рассмотрим характеристическое свойство импликации. Если A и A

B, то B. Для корректности вывода при оценках формул элементами ча-

стично-упорядоченного множества необходимо, чтобы ни один шаг вы-

вода не понижал оценки формул. Поэтому приходим к характеристиче-

скому свойству импликации.

a ∩ (a b) 4 b.

(16.15)

¯

A: Int A. Одна из эквивалентных формулировок определения внутрен-

ности множества —

наибольшее открытое подмножество, в нем содер-

жащееся, что в точности соответствует псевдодополнению.

Соотвественно, значение импликации определяется «почти» как в

¯

булевой алгебре: (A B) = Int(B∩A). Еще одно место, где приходится

брать внутренность —

значение всеобщности, поскольку пересечение

16.5. МОДЕЛИ КРИПКЕ

443

1.

A ¬ A;

2.

¬ ¬ A A;

3.

¬ ¬ A ¬ A;

4.

¬ ¬ A (¬ ¬ A A).

Наглядней данные модели получатся, если в качестве простран-

ства взять единичный круг, а не отрезок.

§ 16.5.

МОДЕЛИ КРИПКЕ

Следующий класс моделей интуиционистской логики связан с давней

проблемой, наиболее остро прозвучавшей в знаменитом вопросе Авер-

роэса. Если даже Бог может подчиняться законам логики, значит, она

описывает не только наш мир, но и другие возможные миры. Поэтому

возникает идея рассмотреть модели, основанные на множестве миров.

Еще Брауэр заметил, что содержательно интуиционистская логика

предполагает накопление знаний, а не их видоизменение, и это замеча-

ние было положено в основу моделей возможных миров, обычно назы-

ваемых моделями Крипке.22

алгебраи-

Определение 16.5.1. Модель Крипке K для сигнатуры σ —

сигнатуры σ. Элементы универса назыываются (возможными) мирами.

Универс мира p W

обозначается Up.

Для случая интуиционистской логики рассматривается конкретный

вид моделей Крипке

—

интуиционистские модели Крипке. Сигнатура

отношений $ состоит из одного двуместного отношения 4. Оно явля-

ется отношением частичного порядка.

Миры согласованы с данным от-

ношением следующим образом.

1.

p 4 q Up Uq,

2.

p 4 q & Up

|= P (a1, . . . , an) Uq |= P (a1, . . . , an).

Таким образом, при подъеме по мирам универсы могу лишь расширять-

ся, и истинность элементарных формул не может перети в ложность.

Вспоминая определение из гл. 1, получаем, что при p 4 q q является

надструктурой p.

Истинность в модели Крипке интуиционистской логики определя-

ется следующим образом.

Определение 16.5.2.

Индуктивно определяем отношение p |= A, где p

—

мир, A —

формула.

1. p = P (a1, . . . , an) означает истинность P (a1, . . . , an) в классиче-

|

23

.

ской алгебраической системе p

2.

p |= A & B

означает, что p |= A и p |= B.

3.

p |= A B

означает, что p |= A или p |= B.

4.

p |= A B означает, что для всех миров q, таких, что p 4 q, если

q |= A, то q |= B.

что для всех миров q, таких, что p 4 q, неверно,

5.

p |= ¬ A означает,

что q |= A.

6.

p |= x A(x) означает, что найдется такое a Up, что p |= A(a).

истинность элементарных формул в алгебраической системе задается не-

23 Поскольку

16.5. МОДЕЛИ КРИПКЕ

445

446

{0, 1, 2}·

A(0), A(1)

(16.18)

{0, 1}

· A(0)

{0}

·

В данной модели в любом из миров есть такое n, что не истинно A(n)

¬ A(n). Значит ни в каком из миров не истинно x(A(x) ¬ A(x)). А

тогда, по определению истинности отрицания, в любой ее точке истинно

¬ x(A(x) ¬ A(x))

(16.19)

Итак, с интуиционистской логикой могут быть совместимы и фор-

мулы, противоречащие классической.

Упражнения к § 16.5

но не выполнено, что

16.5.1.

Постройте модель, в которой ¬ x A(x),

x A(x).

16.5.2.

Постройте модель, где опровергается (A B) (B A).

Может ли такая модель не иметь ветвлений?

§ 16.6.

СЕМАНТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ ДЛЯ ИНТУИЦИОНИСТ-

СКОЙ ЛОГИКИ

Как уже говорилось, конструкция семантических таблиц переносится

на неклассические логики. Здесь мы рассмотрим ее для интуиционист-

ской логики.

Правила разбиения остаются такими же, как и в классических табли-

цах, но добавляются новые спецификации и уточняется в соответствии

с ними понятие противоречия.

Определение 16.6.1. Интуиционистская спецификация — фигура αΞ,

где Ξ —

спецификация истинностного значения

|= или =|, а α —

ин-

447

Интуиционистский префикс — кортеж, членами которого являют-

ся натуральные числа и символы ?. Если префикс не содержит ?, то он

описывает единственный мир, именем которого служит данный кортеж.

Если префикс содержит

?, то он описывает все кортежи натуральных чи-

сел, образующиеся замещением символов ? произвольными кортежами

натуральных чисел25

Два префикса совместимы, если их множества миров пересекаются.

Исходная формула помечается как [] =| A.

Перепишем все правила классических семантических таблиц, ука-

зывая, как видоизменяются префиксы.

α |= A&B

α |= A α |= B

α =| A | α =| B

α |= A | α |= B

α =| A α =| B

α =| A | α |= B

α [n] [?] |= A

α [n] =| B

(16.20)

α |= ¬A

α =| A

α [n] [?] |= A

α |= x A

α =| x A

α |= A(ci)

α [n] =| A(cn+1)

α =| x A

α |= A(cn+1)

α =| A(ci)

Индексы видоизменяются лишь в правилах

=| , =| ¬, =| . Появивши-

Противоречия нет, потому что A отвергается на более раннем уровне,

чем утверждается. Из данной таблицы получается следующая модель

Крипке:

[1]·

|= A

· A

(16.22)

[]·

=| A

·

Слева модель Крипке записана со всей информацией, которую можно

извлечь из семантической таблицы, а справа —

так, как это принято де-

лать, оставив лишь минимальную информацию, полностью ее опреде-

ляющую26.

Заметим, что у нас получилась несколько другая модель, чем (16.21),

чуть проще, но чуть менее наглядная. Действительно, A нет сейчас, ¬ A,

правда, тоже нет, но никогда и не будет. Так что на самом деле в дан-

ной модели истинно ¬ ¬ A, но опровергается A,

и она более сильна, чем

нужно для опровержения A ¬ A.

Пример 16.6.2. Рассмотрим теперь следующую семантическую табли-

цу.

[] =| ¬ ¬ A A

[1, ?] |= ¬ ¬ A [1] =| A

(16.23)

[1, 2] =| ¬ A

[1, 2] |= A

450

Таким образом, в интуиционистской логике правило =| тоже может

оказаться многократно применяемым. Если префикс данного правила

содержит ?, то в каждом совместимом с данным префиксом мире долж-

на порождаться новая константа, если только применение правила не

стало избыточным.

Упражнения к § 16.6

16.6.1.

Разработайте быстрый алгоритм для проверки совместимость

префиксов.

16.6.2. (A B C) (A B) (A C).

16.6.3. ¬ ¬(A ¬ A).

16.6.4. ¬(A & B) ¬ A ¬ B.

16.6.5. ¬ ¬ x(A(x) ¬ A(x))

§ 16.7.

ПОЛНОТА СЕМАНТИЧЕСКИХ ТАБЛИЦ

Как было замечено при доказательстве теоремы полноты классической

логики, полнота и корректность —

первое, что необходимо доказывать

для нового формализма.