8. Нечеткие высказывания Нечеткими высказываниями называют высказывания следующего вида:

1) высказывание < есть >, где  - наименование лингвистической переменной, отражающей некоторый объект или параметр реальной действительности, относительно которой производится утверждение , являющееся ее нечеткой оценкой (нечеткой переменной). Например, <стоимость высокая>, <конкурентоспособность низкая>.

2) высказывания вида < есть m>, < есть Q>, <Q есть m>, <m есть Q>, при этом m называется модификатором (ему соответствуют такие слова, как ОЧЕНЬ, БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ, СРЕДНИЙ и др.), Q - квантификатором (ему соответствуют такие слова, как БОЛЬШИНСТВО, НЕСКОЛЬКО, МНОГО, НЕМНОГО, ОЧЕНЬ МНОГО и др.). Например, <стоимость очень высокая>;

3) высказывания, образованные из высказываний первого и второго вида и союзов И; ИЛИ; ЕСЛИ ... , ТО; ЕСЛИ ...., ТО ..., ИНАЧЕ. Например, <ЕСЛИ стоимость высокая, ТО конкурентоспособность низкая>.

При построении нечетких моделей принятия решений немаловажное значение имеет определения истинности одного высказывания относительно другого.

Предположим, что имеются некоторые высказывания иотносительно ситуации А. Пусть рассматриваемые высказывания имеют вид: < есть >,: < есть >, гдеи- нечеткие переменные, определенные на универсальном множествеU={u}.

Истинность высказывания относительноесть значения функции, определяемое степенью соответствия высказыванийи. В формальной записи:

= {_T()/},

где (uU)( = _D(u));

_T() = max _C(u), u  U₁, U₁ = {uU| _D(u) =  };

_C и _D - функции принадлежности нечетких переменных и;

_T() - функция принадлежности значения истинности;

[0,1] - область ее определения.

Иными словами, истинностью нечеткого высказывания относительно нечеткого высказыванияявляется нечеткое множество, определенное на интервале [0, 1], такое, что для любого значение ее функции принадлежности равно наибольшему значению_C(u) по всем u, при которых  = _D(u).

Методы теории нечетких множеств

Нахождение функции принадлежности – это первый этап по созданию математических моделей на основе теории нечетких множеств. Можно выделить две группы методов построения функции принадлежности: прямые и косвенные методы.

Прямые методы определяются тем, что эксперт непосредственно задает правила определения значений функции принадлежности _А характеризующей понятие А. Как правило, прямые методы используются для описания понятий, которые характеризуются измеримыми свойствами, такими, как высота, рост, вес, объем. В этом случае удобно непосредственное задание значений степени принадлежности. Примеры прямых методов: непосредственное задание функции принадлежности таблицей, формулой, примером.

В косвенных методах значения функции принадлежности выбираются таким образом, чтобы удовлетворить заранее сформулированным условиям. Экспертная информация является только исходной информацией для дальнейшей обработки. Косвенные методы более трудоемки, чем прямые, но их преимущество — в стойкости по отношению к искажениям в ответе.

Но т.к. функция принадлежности может отражать, как мнение группы экспертов, так и мнение одного (уникального) эксперта, следовательно, возможно выделить следующие группы методов: прямые и косвенные для одного эксперта, прямые и косвенные для группы экспертов.

В работах Заде предлагается параметрическое определение функций принадлежности термов в зависимости от расстояния до эталонов. Наиболее прост и в то же время эффективен в применении метод нахождения функции принадлежности исходя из попарных сравнений рассматриваемых элементов, предложенный Т. Л. Саати [190]. При формировании оценок попарных сравнений, обычно, эксперта просят отразить ощущения или опыт следующим образом: а) установить какой из двух предлагаемых элементов, по его мнению, более важен; б) оценить восприятие интенсивности различия в виде ранга важности по определенной ранговой шкале.

Метод многокритериального выбора альтернатив на основе

композиционного правила агрегирования описаний альтер­натив

Метод многокритериального выбора альтернатив на основе композиционного правила агрегирования описаний альтер­натив с информацией о предпочтениях ЛПР, заданных в виде нечет­ких суждений позволяет сравнивать альтернативы незначительно отличающиеся друг от друга по качественным критериям, а это является необходимым условием оценки экспертов.

Пусть U — множество элементов, А — его нечеткое подмножество, степень принадлежности элементов кото­рого есть число из единичного интервала [0,1]. Подмножества А явля­ются значениями лингвистической переменной X.

Пусть множество решений характеризуется набором критериев X₁, Х₂ ,..., Хр, т.е. лингвистических переменных на базовых множест­вах U₁ ,U₂ ,.., Up соответственно. Например, переменная – X₁ «Квар­тирная плата» может иметь значение НИЗКАЯ, а переменная Х₂ «Рас­положение квартиры» — значение ХОРОШЕЕ и т. п. Набор из не­скольких критериев с соответствующими значениями характеризует представления ЛПР об удовлетворительности (приемлемости) реше­ния. Переменная S «Удовлетворительность» также является лингвисти­ческой. Пример высказывания:

d₁: «Если X₁=НИЗКАЯ и X₂=ХОРОШЕЕ, то S=ВЫСОКАЯ». В общем случае высказывание d_i имеет вид

di: «Если X₁=A_{1 i} и Х₂=А_{2 i} и ... Хр=Аp_i , то S=B_i». (15.1)

Обозначим пересечение (Х₁=А_1i  Х₂=A_2i  ...Хр=Aр_i ) через Х=А_i . Опе­рации пересечения нечетких множеств соответствует нахождение мини­мума их функций принадлежности:

_Ai(v)=. (15.2)

где V=U₁ U₂ ...Up; v=(u₁ , u₂,,. ..,u_p); _Aij (и _j) — значение принадлежности элемента u_j нечеткому множеству A_ij. Тогда правило можно записать в виде

d_i: «Если X=A_i , то S=B_i ». (15.3)

Для придания общности рассуждениям обозначим базовое мно­жество U или V через W. Тогда A_i — нечеткое подмножество W, в то время как B_i — нечеткое подмножество единичного интервала I.

Импликация нечетких множеств выражается следующим об­разом:

_H (w,i)=, (15.4)

где Н — нечеткое подмножество на WI , w.W, i I. Аналогичным образом высказывания d₁ , d₂ ,. ..,d_q преобразуются в множества Н₁ , Н₂ ,..., Н_q. Их пересечением является множество D:

D=H₁H₂ ...H_q (15.5)

и для каждого (w, i)  WI

_D (w,i)=, j=1,2...,q (15.6)

Далее опишем способ выбора альтернатив, каждая из которых опи­сывается нечетким подмножеством С из W.

Удовлетворительность альтернативы находится на основе компози­ционного правила вывода:

G=CD, (15.7)

где G — нечеткое подмножество интервала I.

Тогда

_G (i)=. (15.8)

Сопоставление альтернатив происходит на основе точечных оценок. Для нечеткого множества AI определим -уровневое множество ([0, 1]):

А_={х|_A(х), хI}. (15.9)

Для каждого А_. можно вычислить среднее число элементов — М(А_):

1) для множества из п элементов М(А_)= ;

2) для А_= {ахb} M(A_)=,

3) для 0a₁b₁a₂b₂ ...a_nb_n1

A_={ а_i хb_i }; M(A_)=.

Тогда точечное значение для множества А

F(A)=, (15.10)

где _max — значение, при котором A имеет максимум.

При выборе альтернатив для каждой из них находится удовлетвори­тельность и вычисляется соответствующая точечная оценка. Лучшей считается альтернатива с наибольшим ее значением.

Вопросы для самопроверки

1. Нечеткие множества.

2. Лингвистические переменные.

3. Нечеткие операции и отношения.

4. Нечеткий логический вывод.

5. Композиционное правило вывода.