- •"Томский политехнический университет"
- •Предисловие
- •Тема 1 Предмет экономико-математического моделирования
- •Моделирование как метод научного познания
- •Классификация экономико-математических моделей
- •Этапы экономико-математического моделирования
- •Взаимосвязи этапов
- •Моделирования
- •Тема 2 Системный подход к изучению экономических явлений Системный анализ как научная дисциплина
- •Вычислительная техника в системном анализе
- •Системный подход Основные определения: элементы, связи, система
- •Принципы системного подхода
- •Об использовании принципов системного подхода
- •Тема 3 Математические методы
- •И основные классы задач оптимизации
- •Общая постановка математической модели задач
- •Оптимизации
- •Тема 4 Линейное программирование
- •Пример решения станковой задачи
- •Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Свойства опорных решений
- •Решение задач линейного программирования симплекс-методом
- •Конечность симплекс-метода
- •Метод искусственного базиса для отыскания начального опорного решения
- •Двойственность в линейном программировании
- •Виды математических моделей двойственных задач
- •Тема 5 Целочисленное программирование
- •Постановка задачи и метод решения
- •Метод Гомори
- •Составление дополнительного ограничения (сечения Гомори)
- •Тема 6 Транспортная задача
- •Построение первоначального опорного плана
- •Метод минимальной стоимости
- •Определение оптимального плана транспортных задач, имеющих некоторые усложнения в их постановке
- •Тема 7 Нелинейное программирование
- •Теорема Куна – Таккера
- •Тема 8 Регрессионный анализ
- •Тема 9 Игровые методы обоснования решений
- •Основные термины
- •Постановка задачи и выбор критерия оптимизации
- •Построение математической модели
- •Исследование математической модели
- •0Ропт.1; 0qопт.1.
- •Упрощение платёжной матрицы
- •Тема 10 Основы сетевого планирования и управления
- •Параллельности работ
- •Временные параметры сетевого графика
- •Алгоритм расчёта ранних сроков начал и окончаний работ
- •Критическое время и критический путь
- •Алгоритм построения критического пути
- •Исследование сетевой модели
- •Оптимизация сетевых моделей
- •Тема 11 Задачи упорядочения. Задачи управления запасами. Задачи замены оборудования
- •Классификация задач упорядочения
- •Детерминированная задача упорядочения Постановка задачи и выбор критерия оптимизации
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование математической модели
- •Задачи управления запасами
- •Классификация задач управления запасами
- •Однопродуктовая детерминированная задача управления запасами Постановка задачи и выбор критерия оптимизации
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование математической модели
- •Задача управления запасами с учётом убытков
- •Постановка задачи
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование математической модели
- •Задачи замены оборудования
- •Классификация задач замены оборудования
- •Задача замены оборудования длительного пользования Постановка задачи. Выбор критерия оптимизации
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование математической модели
- •Задача замены оборудования с целью предупреждения отказа Постановка задачи и выбор критерия оптимизации
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование и решение математической модели
- •Тема 12 Задачи массового обслуживания
- •Классификация смо
- •Задачи анализа одноканальных систем массового обслуживания
- •Задача анализа детерминированной системы Постановка задачи
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование математической модели
- •Задача анализа замкнутой системы с ожиданием (потоки требований пуассоновские) Постановка задачи
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование и решение математической модели
- •Тема 13 Балансовые методы согласования
- •Ресурсов и потребностей
- •Анализ хозяйственных связей с помощью моделей
- •Межотраслевого баланса
- •Принципиальная схема межотраслевого баланса
- •Экономико-математическая модель межотраслевого баланса
- •2. Определить объёмы валовой продукции отраслей x1, x2,…, Xn по заданным объёмам конечного продукта y1, y2,…,Yn по формуле
- •Пример построения экономико-математической модели межотраслевого баланса и его расчёта для случая трёх отраслей
- •Экономическая природа коэффициентов прямых и полных затрат и их расчёт
- •Тема 14 Многокритериальные задачи
- •Классификация методов многокритериальной оценки альтернатив
- •Пример определения конкурентоспособности наукоемкой продукции на основе показателя “значимость технического решения” порогами несравнимости
- •Тема 15 Моделирование в условиях нечеткой информации
- •Нечеткие высказывания Нечеткими высказываниями называют высказывания следующего вида:
- •Тема 16 Моделирование процесса принятия решений
- •Интегральная модель определения конкурентоспособности продукции
- •Определение нечетких коэффициентов весомости критериев оценки конкурентоспособности продукции
- •Математическая модель рейтинговой оценки конкурентоспособности продукции
- •Отбор кандидатов в эксперты методом многокритериального выбора альтернатив с использованием правила нечеткого логического вывода
- •Заключение
- •Список литературы
- •Оглавление
Симплекс-метод решения задач линейного программирования
Рассмотрим задачу линейного программирования в канонической форме и на минимум целевой функции:
, ,, |
(4.7) |
где – вектора условий задачи, аВ – вектор ограничений этой задачи. Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме.
Допустимое решение задачи (4.7) в канонической форме называетсяопорным решением (планом) этой задачи, если векторы условий где– номера всех ненулевых координат образуют линейно независимую систему векторов.
Пример 4.3. Например, векторы иявляются допустимыми решениями задачи
Z=
, 2, 3, 4.
Векторы условий ,образуют, очевидно, линейно независимую систему. Значит,является опорным решением данной задачи. Векторы,,линейно зависимы, поэтому2 не является опорным решением.
Свойства опорных решений
1. Если допустимое множество задачи (4.7) в канонической форме не пусто, то эта задача имеет опорное решение.
2. Опорные решения задачи (4.7) являются крайними точками допустимого множества этой задачи. (Допустимое множество всегда выпукло.)
3. Задача (4.7) в канонической форме имеет лишь конечное число различных опорных решений (либо не имеет их вовсе).
Чтобы найти некоторое опорное решение задачи (4.7), достаточно выбрать базис системы векторов условий этой задачи так, чтобы вектор ограниченийВ раскладывался по нему с неотрицательными коэффициентами.
Если – такой базис итоявляется опорным решением задачи (4.7).
Базис системы векторов условийзадачи (4.7) называетсябазисом опорного решения этой задачи, еслипри.
Пример 4.4. Рассмотрим опорное решение задачи
Здесь ибазисы системы. Так как вторая и третья координаты вектораравны 0, тоявляется базисом опорного решения. С другой стороны, четвёртая координатаотлична от нуля. Следовательно,не будут базисом.
У любого опорного решения задачи (4.7) не может быть более, чем r ненулевых (положительных) координат, где r=rang(). Опорное решение называется невырожденным, если число его ненулевых координат точно равно r и вырожденным – в противном случае.
Любое опорное решение имеет базис, при этом у невырожденного опорного плана базис только один, а вырожденное опорное решение может иметь несколько различных базисов.
Опорные решения играют важную роль при решении задач линейного программирования в канонической форме, так как если задача имеет оптимальное решение, то одно из её опорных решений обязательно будет её оптимальным решением. Таким образом, оптимальное решение задачи линейного программирования в канонической форме можно искать только среди её опорных решений (а их лишь конечное число).
По задаче линейного программирования в канонической форме (4.7) всегда можно составить так называемую симплекс-таблицу:
Таблица 4.4
Исходная симплекс-таблица условий задачи линейного
программирования
х1 |
х2 |
... |
... |
хn |
|
a11 a21 . . . am1 |
a12 a22 . . . am2 |
... ...
... |
... ...
... |
a1n a2n . . . amn |
b1 b2 . . . bm |
- c1 |
- c2 |
... |
... |
- cn |
0 |
Предположим, что – некоторое опорное решение задачи (4.7), а векторыобразуют его базис. Тогда таблицу 4.4 можно преобразовать методом Гаусса в таблицу 4.5.
Прибавим к последней строке таблицы 4.5 первую строку, умножив на , вторую строку, умножив на,r-ю строку, умножив на . В результате получим новую таблицу 4.6, гдекоординаты опорного решения, соответствующие векторам базисагдеа(значению целевой функции на опорном решении).
Таблица 4.6, полученная указанным выше способом, называется симплекс-таблицей, приведённой к базису опорного решения, а числаоценками этого базиса.
Имеют место следующие утверждения (рассматривается случай задачи минимизации):
1. Если все оценки некоторого базиса опорного решения неположительны, то оно является оптимальным решением задачи линейного программирования в канонической форме (признак оптимальности).
Таблица 4.5
Приведённая к базису симплекс-таблица без изменений в последней строке
x1 |
... |
xi1 |
... |
xi2 |
... |
xir |
... |
xs |
... |
xn |
|
a'11 a'21 . . . a'k1 . . . a'r1 |
|
1 0 . . . 0 . . . 0 |
|
0 1 . . . 0 . . . 0 |
|
0 0 . . . 0 . . . 1 |
|
a'1s a'2s . . . a'ks . . . a'rs |
|
a'1n a'2n . . . a'kn . . . a'rn |
di1 di2 . . . dik . . . dir |
- c1 |
... |
- ci1 |
... |
- ci2 |
... |
- cir |
... |
- cs |
... |
- cn |
0 |
Таблица 4.6
Приведённая к базису симплекс-таблица
x1 |
... |
xi1 |
... |
xi2 |
... |
xir |
... |
xs |
... |
xn |
|
a'11 a'21 . . . a'r1 |
|
1 0 . . . 0 |
|
0 1 . . . 0 |
|
0 0 . . . 1 |
|
a'1s a'2s . . . a'rs |
|
a'1n a'2n . . . a'rn |
di1 di2 . . . dir |
1 |
... |
i1 |
... |
i2 |
... |
ir |
... |
s |
... |
n |
0 |
2. Для оптимального опорного решения задачи линейного программирования в канонической форме всегда существует базис, все оценки которого неположительны.
3. Предположим, что симплекс-таблица для задачи линейного программирования в канонической форме приведена к базису некоторого опорного решения. Если среди оценок этого базиса имеется положительная оценка , а все остальные элементыs-го столбца таблицы неположительны, то целевая функция не ограничена снизу на допустимом множестве. (Условие неограниченности нулевой функции – особый случай).
Пример 4.5. Рассмотрим опорное решение =(1;0;0;0) задачи:
j = 1,2,3,4.
Приведём симплекс-таблицу для этой задачи к базису опорного решения.
Таблица 4.7
Ход преобразований по симплекс-методу для примера 4.5
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
1 |
1 |
3 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
3 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
2 |
1 |
|
0 |
-2 |
-4 |
2 |
0 |
|
0 |
1 |
2 |
-1 |
0 |
10 |
-1 |
9 |
-6 |
0 |
|
10 |
-1 |
9 |
-6 |
0 |
|
10 |
-1 |
9 |
-6 |
0 |
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
2 |
-1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
-17 |
-10 |
Среди оценок базиса есть положительная оценка. Значит, утверждать на этом этапе, что– опорное решение, мы не можем.
С другой стороны, возьмем базис того же опорного решения. Приведя симплекс-таблицу к этому базису (таблица 4.8), получим, что все оценки базисанеположительны. Следовательно,оптимальное решение данной задачи.
Таблица 4.8
Приведённая к базису симплекс-таблица
-
x1
x2
x3
x4
1
-1/2
0
3/2
1
0
1/2
1
-1/2
0
0
-1/2
0
-33/2
-10