Тема 15 Моделирование в условиях нечеткой информации

Для формализованного описания реальных ситуаций, в которой нет полной определенности и однозначности, в настоящее время используется такой математический аппарат, как теория нечетких множеств. Термин «fuzzy sets», введенный Л. Заде, переводится по-разному: нечеткие, размытые, нечетко определенные, расплывчатые и т.д. множества.

В основании теории из любой области естествознания лежит очень важное, основополагающее для ее построения понятие элементарного объекта. Например, для механики — это материальная точка, для электродинамики — это вектор напряженности поля, для квантовой теории — понятие состояния. Для теории нечетких множеств основополагающим понятием является понятие нечеткого множества, которое характеризуется функцией принадлежности. Посредством нечетких множеств можно строго описывать присущие для языка человека расплывчатые элементы, «без формализации которых нет надежды существенно продвинуться вперед в моделировании интеллектуальных процессов».

После появления первой публикации профессора Л. Заде по теории нечетких множеств за рубежом появилось очень много работ, развивающих данную теорию в самых различных направлениях. Число публикаций в нашей стране по теории нечетких множеств неоправданно мало. Наиболее полно отражены идеи данной теории и их практическое использование в работах Поспелова А.Д., Борисова А.Н., Крумберга О.А., Федорова И.П., Мелихова А.Н., Малышева Н.Г., Бернштейна Л.С., Жуковина В.Е., Алиева Р.А., Церковного А.Э. Анализ данных результатов выявил основные вопросы, возникающие при разработке и реализации методов и моделей принятия решений при нечеткой исходной информации. К ним можно отнести следующие:

построение функций принадлежности нечетких множеств;

выполнение операций над нечеткими числами;

сравнение и упорядочение нечетких множеств и чисел;

разработка моделей принятия решений.

Концептуальные и вычислительные особенности реализации перечисленных методов настолько отличаются от традиционных, что часто являются тормозом для широкого их использования. Перечисленные задачи решены с различной степенью глубины, а иногда только найдены пути их решения. Как правило, они требуют глубокой методической доработки - создания алгоритмов и программных средств и т.д.

Понятие нечеткого множества Нечеткое множество образуется путем введения обобщенного понятия принадлежности, т.е. расширения двухэлементного множества значений характеристической функции {0, 1} до континуума [0, 1]. Это означает, что переход от полной принадлежности объекта классу к полной его непринадлежности происходит не скачком, а плавно, постепенно, причем принадлежность элемента множеству выражается числом из интервала [0, 1].

Для введения понятия нечеткого множества обозначим через X={x} – универсальное множество.

Тогда нечетким множеством на множествеX назовем совокупность пар вида

= {_A(x)/x},

где _A :X  [0,1] – отображение множества X в единичный отрезок [0,1], эта функция называется функцией принадлежности нечеткого множества .

Для каждого элемента xX величина _A(x) принимает конкретное значение из интервала [0,1], которое называется степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству . Степень принадлежности является субъективной мерой того, насколько данный элемент соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством.

Носителем нечеткого множества называется множество

S_A = {x  xX  _A(x)|x > 0}.

Иными словами, носителем нечеткого множества является подмножествоS_A универсального множества X, для элементов которого функция принадлежности _A строго больше нуля.

Нечеткое множество называется нормальным, если выполняется условие:

.

Над нечеткими множествами могут производиться такие же операции, как и над четкими, а именно дополнение, пересечение, объединение, возведение в степень (в частности, концентрация и растяжение).

Понятие лингвистической переменной Лингвистическая переменная отличается от числовой переменной тем, что значениями являются не числа, а слова или предложения на естественном или формальном языке. Поскольку слова в общем менее точны, чем числа, понятие лингвистической переменной дает возможность приближенно описывать явления, которые настолько сложны, что не поддаются описанию в общепринятых количественных терминах. В этом смысле роль нечетких множеств аналогична той роли, которую играют слова и предложения в естественном языке.

Нечеткой переменной называется переменная вида:

<, X, >,

где  - наименование нечеткой переменной;

Х={x} - область определения;

= {_(x)/x} - нечеткое множество на Х, описывающее ограничения на возможные значения нечеткой переменной  (ее семантику).

Лингвистической переменной называется переменная вида:

 - наименование лингвистической переменной;

T - множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных;

X - область определения нечетких переменных;

G - синтаксическая процедура (грамматика), позволяющая оперировать элементами терм-множества;

M - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. приписать ему нечеткую семантику путем формирования соответствующего нечеткого множества.

Например, пусть эксперт оценивает стоимость какого либо из выпускаемого изделия, при этом минимальная стоимость составляет 20 единиц, а максимальная 40 единиц. Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной:

<, T, X, G, M>, где:

 - стоимость изделия;

T = {₁, ₂ ₃) = {низкая стоимость, средняя стоимость, высокая стоимость);

X = {20, 40}.

Пусть нечеткие множества описывают семантику базовых значений переменной. Каждое нечеткое множество описывается функцией принадлежности.