- •"Томский политехнический университет"
- •Предисловие
- •Тема 1 Предмет экономико-математического моделирования
- •Моделирование как метод научного познания
- •Классификация экономико-математических моделей
- •Этапы экономико-математического моделирования
- •Взаимосвязи этапов
- •Моделирования
- •Тема 2 Системный подход к изучению экономических явлений Системный анализ как научная дисциплина
- •Вычислительная техника в системном анализе
- •Системный подход Основные определения: элементы, связи, система
- •Принципы системного подхода
- •Об использовании принципов системного подхода
- •Тема 3 Математические методы
- •И основные классы задач оптимизации
- •Общая постановка математической модели задач
- •Оптимизации
- •Тема 4 Линейное программирование
- •Пример решения станковой задачи
- •Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Свойства опорных решений
- •Решение задач линейного программирования симплекс-методом
- •Конечность симплекс-метода
- •Метод искусственного базиса для отыскания начального опорного решения
- •Двойственность в линейном программировании
- •Виды математических моделей двойственных задач
- •Тема 5 Целочисленное программирование
- •Постановка задачи и метод решения
- •Метод Гомори
- •Составление дополнительного ограничения (сечения Гомори)
- •Тема 6 Транспортная задача
- •Построение первоначального опорного плана
- •Метод минимальной стоимости
- •Определение оптимального плана транспортных задач, имеющих некоторые усложнения в их постановке
- •Тема 7 Нелинейное программирование
- •Теорема Куна – Таккера
- •Тема 8 Регрессионный анализ
- •Тема 9 Игровые методы обоснования решений
- •Основные термины
- •Постановка задачи и выбор критерия оптимизации
- •Построение математической модели
- •Исследование математической модели
- •0Ропт.1; 0qопт.1.
- •Упрощение платёжной матрицы
- •Тема 10 Основы сетевого планирования и управления
- •Параллельности работ
- •Временные параметры сетевого графика
- •Алгоритм расчёта ранних сроков начал и окончаний работ
- •Критическое время и критический путь
- •Алгоритм построения критического пути
- •Исследование сетевой модели
- •Оптимизация сетевых моделей
- •Тема 11 Задачи упорядочения. Задачи управления запасами. Задачи замены оборудования
- •Классификация задач упорядочения
- •Детерминированная задача упорядочения Постановка задачи и выбор критерия оптимизации
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование математической модели
- •Задачи управления запасами
- •Классификация задач управления запасами
- •Однопродуктовая детерминированная задача управления запасами Постановка задачи и выбор критерия оптимизации
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование математической модели
- •Задача управления запасами с учётом убытков
- •Постановка задачи
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование математической модели
- •Задачи замены оборудования
- •Классификация задач замены оборудования
- •Задача замены оборудования длительного пользования Постановка задачи. Выбор критерия оптимизации
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование математической модели
- •Задача замены оборудования с целью предупреждения отказа Постановка задачи и выбор критерия оптимизации
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование и решение математической модели
- •Тема 12 Задачи массового обслуживания
- •Классификация смо
- •Задачи анализа одноканальных систем массового обслуживания
- •Задача анализа детерминированной системы Постановка задачи
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование математической модели
- •Задача анализа замкнутой системы с ожиданием (потоки требований пуассоновские) Постановка задачи
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование и решение математической модели
- •Тема 13 Балансовые методы согласования
- •Ресурсов и потребностей
- •Анализ хозяйственных связей с помощью моделей
- •Межотраслевого баланса
- •Принципиальная схема межотраслевого баланса
- •Экономико-математическая модель межотраслевого баланса
- •2. Определить объёмы валовой продукции отраслей x1, x2,…, Xn по заданным объёмам конечного продукта y1, y2,…,Yn по формуле
- •Пример построения экономико-математической модели межотраслевого баланса и его расчёта для случая трёх отраслей
- •Экономическая природа коэффициентов прямых и полных затрат и их расчёт
- •Тема 14 Многокритериальные задачи
- •Классификация методов многокритериальной оценки альтернатив
- •Пример определения конкурентоспособности наукоемкой продукции на основе показателя “значимость технического решения” порогами несравнимости
- •Тема 15 Моделирование в условиях нечеткой информации
- •Нечеткие высказывания Нечеткими высказываниями называют высказывания следующего вида:
- •Тема 16 Моделирование процесса принятия решений
- •Интегральная модель определения конкурентоспособности продукции
- •Определение нечетких коэффициентов весомости критериев оценки конкурентоспособности продукции
- •Математическая модель рейтинговой оценки конкурентоспособности продукции
- •Отбор кандидатов в эксперты методом многокритериального выбора альтернатив с использованием правила нечеткого логического вывода
- •Заключение
- •Список литературы
- •Оглавление
Построение первоначального опорного плана
Как и для других задач линейного программирования, итерационный процесс по отысканию оптимального плана транспортной задачи начинают с нахождения опорного плана.
Рассмотрим систему ограничений транспортной задачи. Она содержит неизвестных иуравнений, связанных соотношениемт.е., если сложить почленно уравнения отдельно подсистемыи отдельно подсистемы, то получим два одинаковых уравнения. Наличие в системе ограничений двух одинаковых уравнений говорит об её линейной зависимости. Если одно из этих уравнений отбросить, то в общем случае система ограничений должна содержатьлинейно независимых уравнений. Следовательно, опорный план транспортной задачи может иметь не болееотличных от 0 неизвестных или перевозок.
Если в опорном плане число отличных от нуля компонент в точности равно , то план является невырожденным, а если меньше – то вырожденным. Таким образом, если каким-либо способом получен невырожденный опорный план транспортной задачи, то в матрице () () значений его компонент положительными являются только, а остальные равны нулю.
Если условия транспортной задачи и её опорный план записаны в виде таблицы, то клетки, в которых находятся отличные от нуля перевозки, называются занятыми, остальные – незанятыми. Занятые клетки соответствуют базисным неизвестным и для невырожденного опорного плана их количество равно . Если ограничения транспортной задачи записаны в виде двух подсистем уравнений, то, как известно, базисным неизвестным, включённым в опорный план, соответствует система линейно независимых векторов. Опорность плана при записи условий транспортной задачи в виде таблицы заключается в егоацикличности, т.е. в таблице нельзя построить замкнутый цикл, все вершины которого лежат в занятых клетках.
Циклом называется набор клеток, в котором две и только две соседние клетки расположены в одном столбце или одной строке таблицы, причём последняя клетка находится в той же строке или столбце, что и первая. Построение циклов начинают с какой-либо занятой клетки и переходят по столбцу (строке) к другой занятой клетке, в которой делают поворот под прямым углом и движутся по строке (столбцу) к следующей занятой клетке и т.д., пытаясь возвратиться к первоначальной клетке (рис. 6.1). Если такой возврат возможен, то получен цикл, и план не является опорным. В противном случае план является опорным. Клетки, в которых происходит поворот под прямым углом, определяют вершины цикла.
Для определения опорного первоначального плана существует несколько методов. Рассмотрим два из них: метод северо-западного угла и с учётом наименьших затрат.
Сущность этих методов, как и других, состоит в том, что опорный первоначальный план находят последовательно за шагов, на каждом из которых в таблице условий задачи заполняют одну клетку, которая становится занятой. Лучше пояснить каждый метод примером.
Рис.6.1. Возможные виды циклов в матрице планирования
транспортной задачи
В методе северо-западного угла при нахождении опорного первоначального плана транспортной задачи на каждом шаге рассматривают первый (сверху) из оставшихся пунктов отправления и первый (слева) из оставшихся пунктов назначения. Заполнение клеток таблицы условий начинается с левой верхней клетки для неизвестного x11 ("северо-западный угол") и заканчивается правой нижней клеткой для неизвестного xmn, т.е. идёт как бы по диагонали таблицы.
Таблица 6.2
Начальные условия примера 6.1 транспортной задачи
Пункты |
Пункты назначения |
Запасы | ||||
отправления |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
|
A1 |
2 |
3 |
4 |
2 |
4 |
140 |
A2 |
8 |
4 |
1 |
14 |
1 |
180 |
A3 |
9 |
7 |
3 |
7 |
2 |
160 |
Потребности |
60 |
70 |
120 |
130 |
100 |
80 |
Пример 6.1. Пусть дана транспортная задача, условия которой заданы матрицей планирования, представленной в табл. 6.2. Здесь число пунктов отправления m=3, а число пунктов назначения n=5. Следовательно, опорный план задачи определяется числами, стоящими в 5+3- -1=7 заполненных клетках. Заполнение таблицы начинаем с клетки для неизвестного x11, несмотря на стоимость перевозки, т.е. попытаемся удовлетворить потребности первого пункта назначения за счёт запасов первого пункта отправления.
Так как запасы пункта A1 больше, чем потребности пункта B1, полагаем x11=60, записываем это значение в соответствующей клетке таблицы и временно исключаем из рассмотрения столбец B1, считая при этом запасы пункта A1 равными 80. Рассмотрим первые из оставшихся пунктов отправления A1 и назначения B2. Запасы пункта A1 больше потребностей пункта B2. Положим x12=70, запишем это значение в соответствующей клетке таблицы и временно исключим из рассмотрения столбец B2. В пункте A1 запасы считаем равными 10 единицам. Снова рассматриваем первые из оставшихся пунктов отправления A1 и назначения B2. Потребности пункта B3 больше оставшихся запасов пункта A1. Положим x13=10 и исключим из рассмотрения строку A1. Значение x13=10 запишем в соответствующую клетку таблицы и считаем потребности пункта B3 равными 110 единицам. Теперь перейдём к заполнению клетки для неизвестного x23 и т.д. Через шесть шагов остаётся один пункт отправления A3 с запасом груза 100 единиц и один пункт назначения B5 с потребностью 100 единиц. Соответственно имеется одна свободная клетка, которая и заполняется, полагая x35=100.
В результате получаем опорный план
.
Таблица 6.3
Последовательность заполнения клеток матрицы планирования
по методу северо-западного угла в примере 6.1
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 |
| |
А1 |
602 |
70 3 |
10 4 |
2 |
4 |
140 |
А2 |
8 |
4 |
1 110 |
14 70 |
1 |
180 |
А3 |
9 |
7 |
3 |
7 60 |
2 100 |
160 |
Потребности |
60 |
70 |
120 |
130 |
100 |
480 |
Согласно данному плану перевозок, общая стоимость перевозок составляет
Опорный ли план получен, узнать можно по выполнению условия: если, начиная движение от занятой клетки x11 или какой-то другой занятой, вернуться в неё, двигаясь только по занятым клеткам и делая повороты под прямым углом, невозможно. В приведённом примере план является опорным.
При составлении первоначального опорного плана методом северо-западного угла стоимость перевозки единицы груза не учитывалась, поэтому построенный план далёк от оптимального. Если при составлении опорного плана учитывать стоимость перевозки единицы груза, то, очевидно, план будет значительно ближе к оптимальному.