Экономико-математическая модель межотраслевого баланса

Экономико-математическая модель межотраслевого баланса представляет собой систему уравнений, отражающих функциональную взаимосвязь включённых в его схему элементов.

Модель межотраслевого баланса для n отраслей можно отобразить с помощью следующей системы линейных уравнений:

(13.7)

Эту систему уравнений мы не можем решить, даже если значения конечного продукта известны, т.к. кроме искомых неизвестных x_i система содержит ещё n∙n неизвестных x_ij. Для решения данной системы преобразуем её. Каждое из слагаемых x_ij разделим на x_j и обозначим отношение x_ij /x_j через а_ij, т.е. а_ij= x_ij /x_j. В этом случае система уравнений примет следующий вид:

(13.8)

Таким образом, преобразованием системы (13.7) привели её к обычной математической форме системы n линейных уравнений с n неизвестными x₁, x₂,,…, x_n при заданных значениях коэффициентов a_ij.

Коэффициенты а_ij= x_ij / x_j называют коэффициентами прямых затрат. Коэффициенты прямых затрат задают для всех отраслей в виде матрицы:

.

(13.9)

Если использовать матричную форму записи, то система уравнений межотраслевого баланса принимает вид:

,

(13.10)

где А – матрица коэффициентов прямых затрат; Y – вектор конечного продукта; X – вектор объёма производства.

В натуральном балансе коэффициент прямых затрат означает расход i-й продукции на изготовление единицы j-й продукции (например, расход угля на производство тонны чёрных металлов). В стоимостном балансе коэффициенты a_ij означают затраты i-й отрасли на каждый рубль валовой продукции j-й отрасли.

Помножив вектор Х на единичную матрицу, соотношение (13.10) можно преобразовать как:

,

(13.11)

или

.

(13.12)

После подсчёта коэффициентов прямых затрат (порядок расчёта коэффициентов прямых затрат будет изложен далее) соотношение (13.12) можно использовать для анализа и решать следующие задачи:

1. Определить объёмы конечного продукта отраслей Y₁, Y₂,…,Y_n по заданным объёмам валовой продукции X₁, X₂, …, X_n по формуле

Y=(E-A)X.

2. Определить объёмы валовой продукции отраслей x1, x2,…, Xn по заданным объёмам конечного продукта y1, y2,…,Yn по формуле

X=(E-A)^-1Y.

Пример построения экономико-математической модели межотраслевого баланса и его расчёта для случая трёх отраслей

Пример 13.1.

В табл. 13.3 приведён пример для построения модели и расчёта межотраслевого баланса для трёх отраслей:

Таблица 13.3

Исходные данные для построения модели межотраслевого баланса

Отрасли	Отрасли произв.	Коэффициент прямых затрат			Конечный продукт
потребления		1	2	3
1 2 3		0,1 0,2 0,3	0,3 0,2 0,1	0,2 0,3 0,4	36 11 8

По данным табл. 13.3 можно записать следующую систему уравнений:

Превратив конечные продукты отраслей в свободные члены, получим:

или

Решение данной системы линейных уравнений осуществляется известными методами алгебры (Ответ: x₁=60, x₂=40, x₃=30).