Исследование математической модели

Известен весьма простой алгоритм для нахождения оптимальной последовательности порядка обслуживания m требований на двух пунктах обслуживания (алгоритм Джонсона).

При этом каждое из требований должно пройти сначала обслуживание на первом пункте, а затем на втором. Продолжительности обслуживания требований различные. Если использовать метод прямого перебора, то при наличии m требований (изделий) и двух пунктов обслуживания (машин) и при условии, что все виды требований обрабатываются в одинаковом порядке, существует m! возможных вариантов (последовательностей). Для нашего примера имеется 720 вариантов.

Алгоритм Джонсона включает следующие основные этапы:

поиск наименьшего элемента. Ищем в таблице наименьший элемент (равен 2, относится ко второй машине) и отмечаем точкой;

перестановка изделий. Определяется местонахождение элемента. Если этот элемент относится к первой машине, то столбец с точкой поставить на первое место, если ко второй, то поставить на последнее место календарного плана. При наличии равных минимальных элементов в обеих строках изделие с минимальным временем обработки на первой машине ставится на первое место, а на второй машине – на последнее место. Если же одинаковые минимальные элементы оказываются в первой (второй) строке, то на первое (последнее) место ставится изделие, которому соответствует меньший элемент второй (первой) строки.

вычёркивание из таблицы столбца, отмеченного точкой, и возвращение к пункту 1 и т. д., пока не будет исчерпан список всех изделий.

В результате получим оптимальную последовательность обработки изделий на двух машинах. Последняя графа таблицы 11.1 (номер цикла) показывает последовательность вычёркивания столбцов для данного примера.

В некоторых частных случаях алгоритм Джонсона применяется и для решения задач упорядочения, требующих трехэтапного обслуживания. Это можно сделать, когда соблюдается одна из следующих систем неравенств:

Время обработки

на машине 1

Время обработки

на машине 2

Время простоя

машины 2

Рис. 11.2. Процесс оптимальной обработки изделий на двух машинах

минимальное время обработки изделия на первой машине больше или равно максимальному времени обработки изделия на второй машине:

;

минимальное время обработки изделий на третьей машине больше или равно максимальному времени обработки на второй машине:

.

После этого составляется новая таблица для суммы вместоиливместо, и к нейприменяется алгоритм Джонсона.

Класс задач, к которым применим алгоритм Джонсона, ограничен. Решение же методом прямого перебора всех возможных вариантов уже при десяти изделиях требует более 3 млн. переборов. В некоторых задачах упорядочения для решения можно использовать методы линейного и динамического программирования.

Задачи управления запасами

Можно выделить четыре основные причины, приводящие к необходимости образования запасов:

необходимость гарантирования бесперебойности производственного процесса;

периодичность производства отдельных сорторазмеров материальных ресурсов у поставщиков;

особенности транспортировки от поставщика до потребителя (несоответствие грузоподъёмности транспортных средств и размеров потребления);

несовпадение ритма производства и поставок производимых ресурсов с ритмом их потребления.

Задача управления запасами в общем случае формулируется так. Имеются некоторые запасы, затраты на хранение которых являются функцией (линейной или нелинейной) их величины. Известны также затраты на доставку ресурсов. Необходимо определить оптимальный размер поставки, частоту или сроки поступления ресурсов с тем, чтобы суммарные издержки были минимальны. Критерием оптимизации является минимизация суммы издержек на хранение и поставку ресурсов.

В общем случае задачи управления запасами сводятся к задачам нелинейного программирования, общих методов решения которых нет.