- •"Томский политехнический университет"
- •Предисловие
- •Тема 1 Предмет экономико-математического моделирования
- •Моделирование как метод научного познания
- •Классификация экономико-математических моделей
- •Этапы экономико-математического моделирования
- •Взаимосвязи этапов
- •Моделирования
- •Тема 2 Системный подход к изучению экономических явлений Системный анализ как научная дисциплина
- •Вычислительная техника в системном анализе
- •Системный подход Основные определения: элементы, связи, система
- •Принципы системного подхода
- •Об использовании принципов системного подхода
- •Тема 3 Математические методы
- •И основные классы задач оптимизации
- •Общая постановка математической модели задач
- •Оптимизации
- •Тема 4 Линейное программирование
- •Пример решения станковой задачи
- •Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Свойства опорных решений
- •Решение задач линейного программирования симплекс-методом
- •Конечность симплекс-метода
- •Метод искусственного базиса для отыскания начального опорного решения
- •Двойственность в линейном программировании
- •Виды математических моделей двойственных задач
- •Тема 5 Целочисленное программирование
- •Постановка задачи и метод решения
- •Метод Гомори
- •Составление дополнительного ограничения (сечения Гомори)
- •Тема 6 Транспортная задача
- •Построение первоначального опорного плана
- •Метод минимальной стоимости
- •Определение оптимального плана транспортных задач, имеющих некоторые усложнения в их постановке
- •Тема 7 Нелинейное программирование
- •Теорема Куна – Таккера
- •Тема 8 Регрессионный анализ
- •Тема 9 Игровые методы обоснования решений
- •Основные термины
- •Постановка задачи и выбор критерия оптимизации
- •Построение математической модели
- •Исследование математической модели
- •0Ропт.1; 0qопт.1.
- •Упрощение платёжной матрицы
- •Тема 10 Основы сетевого планирования и управления
- •Параллельности работ
- •Временные параметры сетевого графика
- •Алгоритм расчёта ранних сроков начал и окончаний работ
- •Критическое время и критический путь
- •Алгоритм построения критического пути
- •Исследование сетевой модели
- •Оптимизация сетевых моделей
- •Тема 11 Задачи упорядочения. Задачи управления запасами. Задачи замены оборудования
- •Классификация задач упорядочения
- •Детерминированная задача упорядочения Постановка задачи и выбор критерия оптимизации
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование математической модели
- •Задачи управления запасами
- •Классификация задач управления запасами
- •Однопродуктовая детерминированная задача управления запасами Постановка задачи и выбор критерия оптимизации
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование математической модели
- •Задача управления запасами с учётом убытков
- •Постановка задачи
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование математической модели
- •Задачи замены оборудования
- •Классификация задач замены оборудования
- •Задача замены оборудования длительного пользования Постановка задачи. Выбор критерия оптимизации
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование математической модели
- •Задача замены оборудования с целью предупреждения отказа Постановка задачи и выбор критерия оптимизации
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование и решение математической модели
- •Тема 12 Задачи массового обслуживания
- •Классификация смо
- •Задачи анализа одноканальных систем массового обслуживания
- •Задача анализа детерминированной системы Постановка задачи
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование математической модели
- •Задача анализа замкнутой системы с ожиданием (потоки требований пуассоновские) Постановка задачи
- •Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
- •Построение математической модели
- •Исследование и решение математической модели
- •Тема 13 Балансовые методы согласования
- •Ресурсов и потребностей
- •Анализ хозяйственных связей с помощью моделей
- •Межотраслевого баланса
- •Принципиальная схема межотраслевого баланса
- •Экономико-математическая модель межотраслевого баланса
- •2. Определить объёмы валовой продукции отраслей x1, x2,…, Xn по заданным объёмам конечного продукта y1, y2,…,Yn по формуле
- •Пример построения экономико-математической модели межотраслевого баланса и его расчёта для случая трёх отраслей
- •Экономическая природа коэффициентов прямых и полных затрат и их расчёт
- •Тема 14 Многокритериальные задачи
- •Классификация методов многокритериальной оценки альтернатив
- •Пример определения конкурентоспособности наукоемкой продукции на основе показателя “значимость технического решения” порогами несравнимости
- •Тема 15 Моделирование в условиях нечеткой информации
- •Нечеткие высказывания Нечеткими высказываниями называют высказывания следующего вида:
- •Тема 16 Моделирование процесса принятия решений
- •Интегральная модель определения конкурентоспособности продукции
- •Определение нечетких коэффициентов весомости критериев оценки конкурентоспособности продукции
- •Математическая модель рейтинговой оценки конкурентоспособности продукции
- •Отбор кандидатов в эксперты методом многокритериального выбора альтернатив с использованием правила нечеткого логического вывода
- •Заключение
- •Список литературы
- •Оглавление
Задача анализа замкнутой системы с ожиданием (потоки требований пуассоновские) Постановка задачи
Пусть исследуется некоторая замкнутая СМО с ограниченным количеством требований в системе, т.е. обслуженные требования вновь возвращаются в систему обслуживания (например, экскаватор или автосамосвал). Интенсивность поступления одного требования в систему известна и равна . Интенсивность обслуживания требований известна и равна.
Число требований, нуждающихся в обслуживании, равно n. Требуется определить основные характеристики системы:
вероятность того, что в системе имеется требований;
вероятность простоя канала обслуживания ;
среднее число требований, находящихся в очереди ;
среднее число требований, находящихся в системе ;
среднее время ожидания требования в очереди ;
среднее время ожидания требования в системе .
Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
Состояние системы будем связывать с числом требований, находящихся в системе. При этом возможны два состояния системы:
- число требований, поступивших в систему, , т.е. канал обслуживания простаивает;
- число требований, поступивших в систему .
Нарисуем размеченный граф состояний однокональной замкнутой СМО с ожиданием:
2λ
… …
Рис. 12.4. Размеченный граф состояний одноканальной замкнутой СМО
с ожиданием
Построение математической модели
В соответствии с размеченным графом состояний и используя мнемоническое правило, запишем систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний:
Исследование и решение математической модели
Ограничимся исследованием установившегося режима работы системы. Тогда .
Вместо системы обыкновенных дифференциальных уравнений получаем систему алгебраических уравнений:
Для нетрудно получить рекуррентную формулу: при
при
при
Вероятность того, что в системе находится требований, составит
.
Используя равенство , можно получить выражение для.
Вероятность простоя канала обслуживания P0=.
Среднее число требований, находящихся в очереди:
.
Среднее число требований, находящихся в системе:
.
Среднее время ожидания требования в очереди:
.
Среднее время ожидания требования в системе:
.
Как можно заметить, определение основных характеристик одноканальных СМО требует большой вычислительной работы, потому целесообразно использовать ЭВМ.
В задачах анализа многоканальных СМО получаются ещё более сложные формулы для вычисления аналогичных характеристик, мы их рассматривать не будем.
Вопросы для самопроверки
Понятие систем массового обслуживания. Задачи анализа и синтеза СМО.
Классификация СМО.
Основные показатели функционирования СМО.
Задачи анализа одноканальных СМО, общее представление.
Задача анализа детерминированной одноканальной СМО.
Задача анализа разомкнутой СМО с ожиданием (потоки требований пуассоновские).
Задача анализа замкнутой СМО с ожиданием (потоки требований пуассоновские).
Мнемоническое правило построения системы обыкновенных дифференциальных уравнений для нахождения вероятностей состояний на основе размеченного графа.