Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей

Поток требований, обладающий свойством стационарности и отсутствием последействия, называется простейшим. В нашей задаче поток требований простейший. Основным понятием при анализе процесса СМО является состояние системы. Зная состояние системы, можно предсказать в вероятностном смысле её поведение.

Простейший поток – это стационарный пуассоновский поток. Если все потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, являются пуассоновскими, то для этих систем вероятности состояний описываются с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Существует определённый методический прием, намного облегчающий вывод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний. Первоначально строится размеченный граф состояний с указанием возможных переходов – это облегчает исследование и делает его более наглядным.

Рис. 12.3. Размеченный граф состояний одноканальной разомкнутой СМО с ожиданием

Граф состояний, на котором проставлены не только стрелки переходов, но и интенсивность соответствующих потоков событий, называют размеченным.

Построение математической модели

Если составлен размеченный граф состояний, то для построения математической модели, т.е. для составления системы обыкновенных дифференциальных уравнений вероятностей состояний, рекомендуется использовать следующее мнемоническое правило:

Производная вероятности пребывания системы в состоянииn равна алгебраической сумме нескольких членов:

- число членов этой суммы равно числу стрелок на графе состояний системы, соединяющих состояние n с другими состояниями;

- если стрелка направлена в состояние n, то член берётся со знаком плюс;

- если стрелка направлена из состояния n, то со знаком минус;

- каждое слагаемое суммы равно произведению вероятности того состояния, из которого направлена стрелка, на интенсивность потока событий, переводящего систему по данной стрелке.

В соответствии с размеченным графом состояний, используя мнемоническое правило, систему обыкновенных дифференциальных уравнений вероятностей состояний запишем так:

(так называемые уравнения Эрланга)

_.

Исследование математической модели

Ограничимся исследованием установившегося режима работы разомкнутой одноканальной системы.

Тогда .

Вместо системы обыкновенных дифференциальных уравнений получаем систему алгебраических уравнений:

Используя полученную систему алгебраических уравнений, легко выразить вероятности состояний системы в виде некоторой рекуррентной формулы.

Из первого уравнения определяется вероятность наличия одного требования в системе

из второго уравнения – вероятность наличия двух требований в системе

.

Окончательно получим .

Аналогично проводятся преобразования для определения :

Окончательно получим и т.д.

Суммируя формулу суммы членов убывающей геометрической прогрессии, получаем

.

При отсюда имеем:

вероятность простоя канала обслуживания ;

вероятность того, что в системе находится требований

среднее число требований, находящихся в системе (или математическое ожидание):

Последняя скобка является производной от следующего выражения:

,

т.е. равна .

Окончательно имеем

- среднее число требований, находящихся в очереди:

;

- среднее время ожидания требования в системе, которое можно определить, зная среднее число требований, находящихся в системе:

.