Задачи анализа одноканальных систем массового обслуживания

Как видно из приведённой классификации СМО, имеется большое число разновидностей СМО. Ограничимся наиболее часто встречающимися СМО:

- детерминированной одноканальной;

- одноканальной разомкнутой с ожиданием с простейшим потоком поступления требований в систему;

- одноканальной замкнутой (поток требований пуассоновский) с ожиданием.

(Пуассоново распределение – распределение случайной величины, при котором она может принимать дискретные значения из счётного множества 0, 1, 2, … с вероятностью

параметр распределения.

Все эти системы могут быть исследованы аналитическими методами, построенными на основе представления процесса функционирования системы как марковского процесса с непрерывным временем и дискретными состояниями.

Задача анализа детерминированной системы Постановка задачи

Пусть исследуется производственный процесс, в котором поступление требований происходит через равные промежутки времени (т.е. интенсивность потока поступлений требований) и обслуживание производится через равные промежутки времени (т.е. интенсивность обслуживания ). Имеется один канал обслуживания. Предполагается, что(в противном случае очередь будет бесконечно возрастать) и что к началу обслуживания в системе имеется ужеn требований. Определить, через какое время очередь исчезнет.

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей

Величину называют коэффициентом использования СМО. Очередь будет бесконечно возрастать, если, а если же, то очередь будет иметь постоянную длину. Схематически работа рассматриваемой СМО представлена на рис. 12.2.

Входящий поток

требований

Рис. 12.2. Схема работы системы

Пока обслуживается очередь из n требований в течение времени , вновь поступит на обслуживаниетребований:

.

Аналогично, пока будут обслуживаться требований в течение времени, дополнительно поступит на обслуживаниетребований:

.

Это происходит до тех пор, пока , после чего очередь исчезнет.

Весь процесс функционирования СМО представим в аналитическом виде.

Построение математической модели

Время, через которое очередь исчезнет, можно представить в таком виде:

Исследование математической модели

Для определения времени, через которое очередь исчезнет, необходимо раскрыть математическую модель.

В модели использована формула суммы геометрической прогрессии. Чем ближе интенсивность потока к интенсивности обслуживания, тем через больший промежуток времени исчезнет очередь (при). Членомможно для упрощения расчётов пренебречь, тогда.

Задачи анализа разомкнутой системы с ожиданием

(потоки требований пуассоновские)

Постановка задачи

Пусть имеется некоторая СМО, для которой справедливы следующие гипотезы:

1. Вероятность поступления требований не зависит от принятого начала отсчёта времени, а зависит только от продолжительности периода наблюдений (стационарность потока);

2. Не поступают в систему и не покидают её одновременно два или более требований (поток ординарный).

3. Поступление одного требования не зависит от поступления другого (отсутствие последействия).

Известны также интенсивность поступления потока требований (среднее число поступлений требований в единицу времени) и интенсивностьобслуживания требований (среднее число обслуживаний в единицу времени).

Требуется определить основные характеристики системы:

вероятность простоя канала обслуживания ;

вероятность того, что в системе находится требований;

среднее число требований, находящихся в системе, (в очереди и на обслуживании);

среднее число требований, находящихся в очереди, ;

среднее время ожидания требования в системе .