Задача замены оборудования длительного пользования Постановка задачи. Выбор критерия оптимизации

Пусть в эксплуатации находится некоторое оборудование. Покупная цена нового оборудования известна и равна S. Допустим, что известны затраты на эксплуатацию оборудования (уход за ним, ремонт и т. д.), производимые в начале 1,2,…,t,…,n периодов. Предположим, что периоды равны, например, году. Обозначим затраты, производимые в t-й период, через . В результате износа балансовая цена оборудования непрерывно падает и зависит от периода списания, обозначим её. Требуется определить период списания оборудования.

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей

Рассмотрим задачу, в которой известны эксплуатационные затраты в разные периоды (дискретную) (естественно, что), а также значения, и непрерывные задачи, в которых известны зависимости.

При этом ограничимся рассмотрением трёх случаев, когда:

1) илинейно зависят от:

2) иквадратично зависят от(по параболе):

3) иэкспоненциально зависят от:

.

Это связано с заменой оборудования, подверженного износу. Все три случая можно представить графически.

Построение математической модели

Средние затраты равны: 0) – дискретный вариант.

Для всех случаев т.е..

1)

0

0

t

t

2)

t

0

t

0

3)

0

0

t

t

Рис. 11.6. Зависимость эксплутационных затрат

и балансовой стоимости оборудования от времени

Исследование математической модели

Рассмотрим все указанные случаи. Чтобы затраты при замене оборудования через t периодов были наименьшими, естественно должно выполниться условие: или в развёрнутом виде

После соответствующих преобразований получим окончательно:

Это условие при любых соотношениях между величинами иявляется необходимым условием оптимальности стратегии, а т.к.и, то написанное условие является ещё и достаточным условием оптимальности:

Оптимального периода списания нет. Если функции илинейные, то средние издержки эксплуатации оборудования будут постоянны, поэтому, если хотим произвести замену в любое время, достаточно обеспечить линейностьхарактеристик и;

в этом случае средние издержки линейно зависят от периода эксплуатации;

. После соответствующих преобразований получим

.

Решая это уравнение (целесообразнее графическим способом и обозначив предварительно), получим точку пересечения, которая и даст искомое времяt, при котором необходимо произвести замену оборудования.

Задача замены оборудования с целью предупреждения отказа Постановка задачи и выбор критерия оптимизации

Пусть в эксплуатации находится некоторое оборудование. Допустим, что известны затраты, связанные с отказом оборудования (брак готовой продукции, простой и т. д.), включая затраты на замену =100 тыс. руб., а также известны затраты на одну замену=50 тыс. руб. (предупредительную замену). Известно количество неотказавшего оборудованияn(t) ко времени t (табл. 11.3). Требуется определить оптимальный интервал между последовательными заменами оборудования, при котором минимизируются средние затраты на единицу времени.

Вероятности отказа работы оборудования известны.

Таблица 11.3

Исходные данные задачи замены оборудования

Время работы	t	0	1	2	3	4	5	6	7
Количество неотказавшего оборудования ко времени t	n(t)	200	190	180	160	100	40	20	10