Тема 4 Линейное программирование

Рассмотрим ещё раз.общую задачу линейного программирования с ограничением в форме уравнений и неравенств.

Под линейным программированием понимается отыскание оптимального решения в задачах следующего вида:

Требуется найти экстремальное (максимальное или минимальное) значение функции

(4.1)

при следующих линейных ограничениях:

(4.2)

. (4.3)

Линейная функция L называется целевой функцией. В выражениях (4.1) – (4.3) х₁,х₂,…,х_n – искомые (неизвестные) величины. Ими могут быть, в зависимости от вида задачи, количество изделий первого, второго и т.д. типоразмера, количество материала соответствующей марки, количество оборудования какой-либо группы и т.п.

Коэффициенты при неизвестных в целевой функции (4.1) с₁, с₂,… , с_n – заданные постоянные величины. Их смысл также зависит от решаемой задачи и может представлять собой себестоимость, цену или прибыль от одного изделия соответствующего типоразмера, цену оборудования, материалов, недогрузку оборудования во времени (в часах) или отходы материала при раскрое и т.п. Проблема выбора показателей, определяющих значения с₁, с₂,…,с_n в целевой функции (4.1), зависит от выбора критерия и показателя оптимальности решаемых экономических задач.

Коэффициентами при неизвестных в линейных уравнениях (4.2) являются числа a_ij, где i – номер уравнения или строки, в котором находится данный коэффициент (i=1,2,…,m), j – номер неизвестной, при которой стоит этот коэффициент (j=1,2,…,n) (номер столбца).

Коэффициенты a_ij являются заданными постоянными числами и выражают те или иные затраты: времени на изготовление одного изделия по одной группе оборудования, материала на изготовление одного изделия и т.д.

Свободные члены в линейных неравенствах (4.2) b_i (i=1,2,…,m) обозначают, например, величину тех или иных ресурсов, которыми располагают или могут располагать предприятия, экономический район или народное хозяйство страны в целом. Ими может быть оборудование или время его работы, запасы материалов, численность рабочих, продолжительность рабочего времени и др. Выражение (4.3) означает, что искомые переменные величины x_j не могут быть отрицательными.

Каждое из решений системы (4.2) и (4.3) принято называть возможным или допустимым планом.

Всё множество решений или допустимых планов называется областью определения целевой функции. Она может оказаться пустой, если условия (4.2) и (4.3) несовместны.

Из множества решений, удовлетворяющих условиям (4.2) и (4.3), необходимо найти такое, при котором целевая функция (4.1) принимала бы максимальное (или минимальное) значение.

Нахождение экстремума целевой функции (4.1) при условии, что переменные удовлетворяют линейным ограничениям (4.2) и (4.3), и составляет предмет линейного программирования.

При решении задач методом линейного программирования может быть 3 случая:

1. условия задач (4.2) и (4.3) противоречивы, т.е. не существует набора чисел х₁, х₂,…,х_n, удовлетворяющих всем условиям задачи;

2. условия (4.2) и (4.3) непротиворечивы, но целевая функция не ограничена;

3. система условий (4.2) и (4.3) совместна, и экстремум целевой функции существует, т.е. значение максимума или минимума целевой функции (4.1) конечно.

Для большинства правильно поставленных практических задач будет иметь место третий случай.

Область применения линейного программирования довольно широка: от задачи составления рациона для кормления животных в сельском хозяйстве до задачи оптимального использования сырья в топливно-энергетической сфере хозяйства. Но нас будут в основном интересовать задачи экономики машиностроительного производства, решаемые методом линейного и вообще математического программирования.

Данные задачи могут быть подразделены на две основные группы. Первая группа – задачи, область применения которых ограничивается отдельным предприятием. К ним относятся задачи, связанные:

1. с технологией производства или технологическим планированием;

2. с оперативно-производственным планированием;

3. с технико-экономическим планированием.

В первую подгруппу входят задачи, получившие в литературе по линейному программированию названия: станковая, раскройная и о смесях. Это были задачи, решённые впервые методом линейного программирования в 1939 г. в работе Л.В.Канторовича, пока единственного российского учёного, удостоенного Нобелевской премии по экономике в 1975 г. вместе с американским экономистом Т. Купмансом за вклад в развитие теории оптимального распределения ресурсов.

Станковая задача может быть отнесена и к задачам оперативно-производственного планирования. Но, учитывая, что на машиностроительных заводах она может применяться главным образом для выбора оптимального варианта технологического процесса, её целесообразнее рассматривать в первой подгруппе.

К задачам, связанным с оперативно-производственным программированием (вторая подгруппа), относятся задачи по оптимальному закреплению деталеопераций на рабочих местах.

В третью подгруппу включаются задачи по установлению оптимальных годовых производственных программ (производственных мощностей) предприятия, цеха, участка и оптимальному распределению установленных программ по более коротким отрезкам времени - кварталам и месяцам. Задачи этой подгруппы связаны также и с оперативно-производственным планированием, главным образом при определении оптимальной производственной мощности (в натуральных единицах измерения) предприятия в целом и отдельных цехов, а также производственной программы выпуска изделий по месяцам и кварталам года.

Во вторую группу входят задачи, охватывающие отдельную отрасль или народное хозяйство страны. К ним относятся задачи типа транспортных, задачи по размещению и концентрации производства и определению экономической эффективности капитальных вложений и новой техники. К задачам этой группы примыкают и вопросы составления межотраслевых балансов.

Рассмотрим станковую задачу кратко. Эту задачу впервые поставил и решил методом разрешающих множителей Л. В. Канторович на примере задачи фанерного треста.

Пусть имеются три группы однородного оборудования, на котором необходимо обрабатывать два изделия (две детали). Количество единиц оборудования в каждой группе и производительность при изготовлении изделий каждой группы приведены в таблице 4.1.

Требуется определить, какое количество изделий каждого вида нужно обрабатывать на каждой группе оборудования, или какое количество единиц оборудования каждой группы нужно выделить, чтобы изготовить максимальное количество изделий. Для упрощения в этом примере принято, что нужно изготовить равное количество изделий каждого вида.

Первое заключение, невольно напрашивающееся, заключается в том, чтобы на каждой группе оборудования производилось одинаковое количество изделий того и другого вида, которое и приведено в таблице. Расчёт такого количества ведётся путем решения простейшей системы линейных уравнений. Так, для первой группы оборудования составляется система линейных уравнений:

Здесь х – количество станков первой группы оборудования, закреплённых за изделием 1, а у – за изделием 2.

Первое уравнение показывает, что нужно изготовить одинаковое количество изделий первого и второго видов, а второе – что число единиц этой группы оборудования, используемое для изготовления всех изделий, равно трём.

Таблица 4.1