Об использовании принципов системного подхода

Рассмотрим вопросы практического использования принципов системного подхода. Все они обладают высокой степенью общности, т.е. отражают отношения, сильно абстрагированные от конкретного содержания проблем. Для любой конкретной системы проблемы, ситуации, принципы системного подхода могут и должны быть конкретизированы. Отметим, что интерпретация принципов для данного частного случая может приводить к обоснованному выводу о незначимости какого-либо из принципов, об отсутствии условий для его применения. Так, в системе может и не быть иерархии, она может считаться полностью определённой, связи могут быть заложены в самой математической модели и не требовать специального рассмотрения и т.д.

Многократное применение принципов системного подхода в различных системах приводят к тому, что развивается особый тип мышления, который принято называть системным. Иногда утверждают, что принципы системного подхода удобны для критики уже имеющихся систем и менее удобны для создания новых. Высокая общность принципов системного подхода во многом может быть преодолена их конкретизацией для конкретных фиксированных классов предметных задач. В ряде случаев это удобно выполнять в несколько приёмов. Известны и примеры максимально конкретной трактовки принципов применительно к узким классам прикладных задач.

Вопросы для самопроверки

1. Что такое сложные системы?

2. Системный анализ как наука.

3. Основные понятия системного анализа: элемент, связи, система, подсистема, декомпозиция.

4. Классификация систем.

5. Принципы системного подхода и их использование.

Тема 3 Математические методы

И основные классы задач оптимизации

Общая постановка математической модели задач

Оптимизации

Когда ранее мы рассматривали классификацию проблем, мы указали, что в целом в настоящее время для нахождения оптимальных решений хорошо структуризованных проблем имеется обширный и глубоко разработанный математический аппарат.

Пусть f(x) – функция, определённая на множестве V, а Ω - некоторое подмножество множества V.

Оптимизационная задача задается тройкой (V, F, Ω). При этом функция f(x) называется целевой функцией, а Ω – допустимым множеством (множеством допустимых значений) оптимизационной задачи.

Оптимизационные задачи бывают двух типов: задачи минимизации и задачи максимизации. Задача минимизации (максимизации) (V, F, Ω) состоит в отыскивании наименьшего (наибольшего) значения целевой функции f(x) на допустимом множестве Ω.

Для того, чтобы решить задачу минимизации (максимизации) (V, F, Ω), достаточно найти её оптимальное решение, т.е. указать x₀Ω такое, что f(x₀)f(x₁…,x_n)=f(x) (или f(x₀)f(x)) при любом xΩ.

Оптимизационная задача называется неразрешимой, если она не имеет оптимального решения. В частности, задача минимизации (максимизации) (V, F, Ω) будет неразрешимой, если целевая функция f(x) не ограничена снизу (сверху) на допустимом множестве Ω.

Решить оптимизационную задачу – значит либо найти её оптимальное решение, либо установить неразрешимость этой задачи.

Любая задача максимизации (V, F, Ω) сводится к задаче минимизации (V, -F, Ω): эти задачи либо обе неразрешимы, либо имеют одно и тоже оптимальное решение.

Две задачи минимизации (максимизации) называются эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество допустимых решений. На любом допустимом решении значения целевых функций этих задач совпадают. Эквивалентные оптимизационные задачи либо обе неразрешимы, либо имеют одно и тоже оптимальное решение.

Методы решения оптимизационных задач, в которых целевая функция является функцией n переменных, часто называют методами математического программирования. Термин "программирование" в данном случае обусловлен тем, что в задачах имеется некоторая программа действий, это не программирование на ЭВМ. В зависимости от вида целевой функции, которая может быть линейной или нелинейной, в математическом программировании выделяют основные разделы: линейное программирование и нелинейное (выпуклое программирование).

В общем виде математическая постановка задачи оптимизации состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции f(x₁…,x_n) при условиях g_i (x₁…,x_n)≤ b_i (i=1,…,m), где f и g_i - заданные функции, а b_i - некоторые действительные числа. Если все f и g_i линейные, то соответствующая задача является задачей линейного программирования. Если же хотя бы одна из указанных функций нелинейная, то соответствующая задача является задачей нелинейного программирования.

Пусть z=f(x₁,x₂,…,x_n). Тогда мы можем записать:

zmax (min)

g_i (x₁…,x_n) b_i ,i=1,…,m.

Интерпретировать эту модель можно следующим образом к проблемам выбора наилучших вариантов экономического поведения:

z - оптимизационная цель экономической системы;

f(x₁,…,x_n) - соответствующая ей целевая функция;

x₁,x₂,…,x_n - показатели степени использования средств достижения цели, могут характеризовать выпуск продукции разных видов, загрузку оборудования, использование ресурсов и т.п.

g_i(x₁…,x_n)функция совокупных затрат средств i-й группы, используемых для достижения целей;

b_i - лимиты, предельные границы совокупных затрат средств i-й группы, фиксируются ограничением на g_i(x) сверху.

Сведение экономических задач к моделям оптимизации решений, являющихся конкретизацией общей задачи математического программирования, основано на ряде исходных предпосылок о характере анализируемых экономических процессов и о выборе наилучших решений.

Среди этих предпосылок основными являются следующие:

1. наличие единого критерия оптимизации качества экономических решений, который может быть количественно измерен;

2. признание ограниченности ("дефицитности") средств достижения целей;

3. наличие взаимозаменяемости средств и многовариантность их использования для достижения одних и тех же целей.

Подробнее о предпосылках построения моделей будем говорить позднее, сейчас только скажем, что они, естественно, упрощают модель экономики по сравнению с реальностью. В большинстве случаев, однако, рост аналитических возможностей для поиска управленческих решений намного перекрывает некоторые неточности, вызываемые упрощённым описанием экономических проблем.

Для предприятия наиболее обоснованным с точки зрения теории оптимизации является критерий оптимальности в виде максимума прибыли (разницы между результатом и затратами) или минимума затрат, где затраты и результаты измеряются в стоимостных единицах. Вместе с тем, следует иметь в виду многоцелевой характер деятельности предприятия.

Ограничениями в общей модели задач оптимизации, как правило, являются ресурсы (средства): людские, материальные, денежные и т.п.

Концепция ограниченности средств достижения целей в экономике обычно сводится к признанию ограниченности ("дефицитности") ресурсов в производственной и непроизводственной сфере.

К понятию ресурсов следует подходить как к полному комплексу не только трудовых, материально-технических и денежных средств, необходимых в хозяйственной деятельности, но и природно-экологических, информационных, социально-психологических условий и факторов, без наличия которых та или иная хозяйственная стратегия не может быть реализована. Соответственно в моделях выбора необходимо прямо или косвенно измерять и учитывать все виды ограниченных ресурсов и с точки зрения их расходования оценивать любые варианты хозяйственной деятельности.

Многовариантность экономических решений, с одной стороны, связана с ограниченностью, с другой – с взаимозаменяемостью ресурсов и способами их использования. В экономических системах, прежде всего, можно выделить прямую взаимозаменяемость ресурсов, когда один и тот же вид деятельности в процессе производства или потребления выполняется разными средствами. Например, сталь может выплавляться мартеновским или конверторным способами (взаимозаменяемость оборудования и технологии), одежда – изготовляться из шерстяных или синтетических тканей (взаимозаменяемость материалов). Наряду с этим целесообразно выделение косвенной взаимозаменяемости средств, когда они взаимозаменяемы опосредованно, через другие средства. Например, использование угля в качестве топлива вместо нефти создаёт возможность использовать нефтяные продукты в производстве синтетических волокон, что в свою очередь ведёт к снижению потребности в хлопке, последнее в принципе создаёт возможность для использования части земель, занятых под хлопок, для выращивания других нужных сельскохозяйственных культур и т.д. Именно наличие как прямой, так и косвенной взаимозаменяемости средств в экономической системе создаёт огромное количество взаимопереплетающихся вариантов хозяйственных стратегий и решений, что делает проблему оптимального выбора настолько нетривиальной, что она во многих случаях не может быть решена без применения экономико-математических моделей и методов оптимизации.

Система рассмотренных выше предпосылок или условий формулировки экономических проблем как задач на оптимум при всей её кажущейся естественности и универсальности обладает существенной неполнотой. Даже если в системе выбора экономического решения объективно существует единая цель деятельности, ограниченность и взаимозаменяемость средств её достижения, такая система может быть сведена к задаче оптимизации лишь при выполнении ещё трёх важных условий:

• условие полной рационализации – цель деятельности осознаётся с высокой степенью конкретности как единая количественно измеримая категория;

• условие всестороннего знания – все альтернативные возможности достижения целей заранее известны и хорошо описаны, остаётся лишь сравнить и оценить их;

• условие безграничности вычислительных возможностей – ресурсы, предназначенные для реализации самого процесса исследования по отысканию наилучшего решения (мощность ЭВМ, численность групп специалистов, срок выдачи рекомендаций и др.), не лимитируют возможности получения этого решения.

Очевидно, далеко не все экономические проблемы, для которых выполняются первые три предпосылки, формулируются в условиях выполнения последних трёх предпосылок. Эти дополнительные требования выполняются лишь для хорошо стуктуризованных проблем, не испытывающих существенного влияния неполноты информации. Именно этот класс проблем может быть сведён к задачам математического программирования.

Применительно к общей модели математического программирования функция g_i(x) должна быть известна, то есть зависимость расхода или выпуска ресурса i-го вида от переменных должна быть известна. Величина b_i есть наличие или возможность получения ресурса i-го вида и должна быть задана. В каждом из ограничений вида g_i(x)b_i может иметь место в принципе любой из знаков  Ограничение вида g_i(x)b_i может быть приведено к каноническому (классическому) виду следующим образом: -g_i(x)-b_i. Различные ограничения могут иметь различные знаки. Соотношение между числом неизвестных n и числом ограничений m может быть любым: m n; m  n; m n. Когда m 0, то ищется максимум или минимум целевой функции без ограничений, т. е. решается задача на нахождение безусловного экстремума.

На переменные могут дополнительно накладываться следующие ограничения:

а) некоторые или все переменные должны быть неотрицательными, то есть x_j0 (j 1,2, …, n₁), где n₁n;

б) некоторые или все переменные могут принимать лишь дискретные (например, целочисленные) значения.

Эти дополнительные ограничения довольно типичны для экономических ситуаций (раскройная задача, станковая задача, причём в последней число станков может быть только целым числом).

В зависимости от конкретизации общей задачи математического программирования вычислительные методы поиска оптимальных решений зависят от того, в какую основную группу экономических задач оптимизации попадёт соответствующая задача.

Ранее мы уже привели классификацию этих задач на линейные и нелинейные задачи.

Если принять, что

f(x₁,x₂,…,x_n) (3.1)

g_i (x₁,x₂,…,x_n){  }b_{i ,} i=1,…,m. (3.2)

x_j (i=1,2,…,n), (3.3)

где а_ij и c_j – заданные величины, то получим общую задачу линейного программирования, которая формулируется следующим образом.

Необходимо найти n неотрицательных переменных x_j, максимизирующих (или минимизирующих) линейную целевую функцию (3.1) и удовлетворяющих ограничениям (3.2), (3.3).

Для этих задач разработан целый ряд эффективных методов, алгоритмов и программ, основным из которых является симплекс-метод.

Все другие задачи, имеющие целевую функцию и ограничения, отличающиеся от (3.1), (3.2) и (3.3), кроме задач, в которых предполагается целочисленность переменных, принято считать нелинейными.

Вычислительные методы разработаны лишь для немногих типов задач нелинейного программирования, а именно для задач так называемого выпуклого программирования. Это задачи, в результате решения которых определяется минимум выпуклой (или максимум вогнутой) функции, заданной на выпуклом замкнутом множестве. В свою очередь, среди задач выпуклого программирования более подробно исследованы задачи квадратичного программирования. В результате решения таких задач требуется в общем случае найти максимум (или минимум) квадратичной функции с₁x₁ с₂x₂ …  с_nx_n +d₁₁x₁²… d₁₂x₁x₂… d_1nx₁x_n… d_nnx_n² при условии, что её переменные удовлетворяют либо некоторой системе линейных неравенств или линейных уравнений, либо некоторой системе, содержащей как линейные неравенства, так и линейные уравнения.

Отдельными классами задач математического программирования являются задачи целочисленного, параметрического и дробно-линейного программирования.

В задачах целочисленного программирования неизвестные могут принимать только целочисленные значения.

В задачах параметрического программирования целевая функция или функции, определяющие область возможных изменений переменных, либо то и другое, зависят от некоторых параметров.

В задачах дробно-линейного программирования целевая функция представляет собой отношение двух линейных функций, а функции, определяющие область возможных изменений переменных, также являются линейными.

Выделяют отдельные классы задач стохастического и динамического программирования. Если в целевой функции или в функциях, определяющих область возможных изменений переменных, содержатся случайные величины, то такая задача относится к задаче стохастического программирования. Задача, процесс нахождения решения которой является многоэтапным, относится к задаче динамического программирования. В каждом из классов задач оптимизации есть свой набор методов нахождения оптимального решения.

Вопросы для самопроверки

1. Вид оптимизационной задачи.

2. Математическая постановка задач оптимизации и ее интерпретация к проблемам выбора наилучших вариантов экономического поведения.

3. Условия сведения экономической задачи к задаче оптимизации.

4. Классы задач математического программирования.