Построение первоначального опорного плана

Как и для других задач линейного программирования, итерационный процесс по отысканию оптимального плана транспортной задачи начинают с нахождения опорного плана.

Рассмотрим систему ограничений транспортной задачи. Она содержит неизвестных иуравнений, связанных соотношениемт.е., если сложить почленно уравнения отдельно подсистемыи отдельно подсистемы, то получим два одинаковых уравнения. Наличие в системе ограничений двух одинаковых уравнений говорит об её линейной зависимости. Если одно из этих уравнений отбросить, то в общем случае система ограничений должна содержатьлинейно независимых уравнений. Следовательно, опорный план транспортной задачи может иметь не болееотличных от 0 неизвестных или перевозок.

Если в опорном плане число отличных от нуля компонент в точности равно , то план является невырожденным, а если меньше – то вырожденным. Таким образом, если каким-либо способом получен невырожденный опорный план транспортной задачи, то в матрице () () значений его компонент положительными являются только, а остальные равны нулю.

Если условия транспортной задачи и её опорный план записаны в виде таблицы, то клетки, в которых находятся отличные от нуля перевозки, называются занятыми, остальные – незанятыми. Занятые клетки соответствуют базисным неизвестным и для невырожденного опорного плана их количество равно . Если ограничения транспортной задачи записаны в виде двух подсистем уравнений, то, как известно, базисным неизвестным, включённым в опорный план, соответствует система линейно независимых векторов. Опорность плана при записи условий транспортной задачи в виде таблицы заключается в егоацикличности, т.е. в таблице нельзя построить замкнутый цикл, все вершины которого лежат в занятых клетках.

Циклом называется набор клеток, в котором две и только две соседние клетки расположены в одном столбце или одной строке таблицы, причём последняя клетка находится в той же строке или столбце, что и первая. Построение циклов начинают с какой-либо занятой клетки и переходят по столбцу (строке) к другой занятой клетке, в которой делают поворот под прямым углом и движутся по строке (столбцу) к следующей занятой клетке и т.д., пытаясь возвратиться к первоначальной клетке (рис. 6.1). Если такой возврат возможен, то получен цикл, и план не является опорным. В противном случае план является опорным. Клетки, в которых происходит поворот под прямым углом, определяют вершины цикла.

Для определения опорного первоначального плана существует несколько методов. Рассмотрим два из них: метод северо-западного угла и с учётом наименьших затрат.

Сущность этих методов, как и других, состоит в том, что опорный первоначальный план находят последовательно за шагов, на каждом из которых в таблице условий задачи заполняют одну клетку, которая становится занятой. Лучше пояснить каждый метод примером.

Рис.6.1. Возможные виды циклов в матрице планирования

транспортной задачи

В методе северо-западного угла при нахождении опорного первоначального плана транспортной задачи на каждом шаге рассматривают первый (сверху) из оставшихся пунктов отправления и первый (слева) из оставшихся пунктов назначения. Заполнение клеток таблицы условий начинается с левой верхней клетки для неизвестного x₁₁ ("северо-западный угол") и заканчивается правой нижней клеткой для неизвестного x_mn, т.е. идёт как бы по диагонали таблицы.

Таблица 6.2

Начальные условия примера 6.1 транспортной задачи

Пункты	Пункты назначения					Запасы
отправления	B1	B2	B3	B4	B5
A1	2	3	4	2	4	140
A2	8	4	1	14	1	180
A3	9	7	3	7	2	160
Потребности	60	70	120	130	100	80

Пример 6.1. Пусть дана транспортная задача, условия которой заданы матрицей планирования, представленной в табл. 6.2. Здесь число пунктов отправления m=3, а число пунктов назначения n=5. Следовательно, опорный план задачи определяется числами, стоящими в 5+3- -1=7 заполненных клетках. Заполнение таблицы начинаем с клетки для неизвестного x₁₁, несмотря на стоимость перевозки, т.е. попытаемся удовлетворить потребности первого пункта назначения за счёт запасов первого пункта отправления.

Так как запасы пункта A₁ больше, чем потребности пункта B₁, полагаем x₁₁=60, записываем это значение в соответствующей клетке таблицы и временно исключаем из рассмотрения столбец B₁, считая при этом запасы пункта A₁ равными 80. Рассмотрим первые из оставшихся пунктов отправления A₁ и назначения B₂. Запасы пункта A₁ больше потребностей пункта B₂. Положим x₁₂=70, запишем это значение в соответствующей клетке таблицы и временно исключим из рассмотрения столбец B₂. В пункте A₁ запасы считаем равными 10 единицам. Снова рассматриваем первые из оставшихся пунктов отправления A₁ и назначения B₂. Потребности пункта B₃ больше оставшихся запасов пункта A₁. Положим x₁₃=10 и исключим из рассмотрения строку A₁. Значение x₁₃=10 запишем в соответствующую клетку таблицы и считаем потребности пункта B₃ равными 110 единицам. Теперь перейдём к заполнению клетки для неизвестного x₂₃ и т.д. Через шесть шагов остаётся один пункт отправления A₃ с запасом груза 100 единиц и один пункт назначения B₅ с потребностью 100 единиц. Соответственно имеется одна свободная клетка, которая и заполняется, полагая x₃₅=100.

В результате получаем опорный план

.

Таблица 6.3

Последовательность заполнения клеток матрицы планирования

по методу северо-западного угла в примере 6.1

	В1	В2	В3	В4	В5
А1	602	70 3	10 4	2	4	140
А2	8	4	1 110	14 70	1	180
А3	9	7	3	7 60	2 100	160
Потребности	60	70	120	130	100	480

Согласно данному плану перевозок, общая стоимость перевозок составляет

Опорный ли план получен, узнать можно по выполнению условия: если, начиная движение от занятой клетки x₁₁ или какой-то другой занятой, вернуться в неё, двигаясь только по занятым клеткам и делая повороты под прямым углом, невозможно. В приведённом примере план является опорным.

При составлении первоначального опорного плана методом северо-западного угла стоимость перевозки единицы груза не учитывалась, поэтому построенный план далёк от оптимального. Если при составлении опорного плана учитывать стоимость перевозки единицы груза, то, очевидно, план будет значительно ближе к оптимальному.