Виды математических моделей двойственных задач
На основании рассмотренных несимметричных и симметричных двойственных задач можно заключить, что математические модели пары двойственных задач могут иметь один из следующих видов:
Несимметричные задачи.
(4.15) Исходная Двойственная (4.16) Исходная Двойственная
задача задача задача задача
Симметричные задачи.
(4.17) Исходная Двойственная (4.18) Исходная Двойственная
задача задача задача задача
Таким образом, прежде чем записать двойственную задачу для данной исходной, систему ограничений исходной задачи необходимо привести к соответствующему виду.
На примерах рассмотрим алгоритм составления двойственной задачи.
Пример
4.7. Исходная задача.
Найти минимальное значение линейной
функции
при ограничениях
.
Рассмотренная задача относится к симметричным двойственным задачам на отыскание минимального значения линейной функции. Для того чтобы можно было записать двойственную задачу, её модель должна иметь вид (4.17). Переход осуществляется умножением первого неравенства на –1.
Исходная задача:
.
Двойственная задача:
.
Матрица коэффициентов ограничений в двойственной задаче является транспонированной матрицей коэффициентов ограничений исходной задачи.
Рассмотрим теперь случай, когда число ограничений не совпадает с числом переменных.
Пример
4.8. Исходная задача.
Найти минимальное значение линейной
функции
при ограничениях
.
.
Двойственная
задача
(несимметричная; вид (4.15)). Найти
максимальное значение линейной функции
при
ограничениях
Вопросы для самопроверки
Задача линейного программирования в общем виде.
Возможные варианты решения задачи линейного программирования.
Области применения линейного программирования.
Группы и подгруппы задач линейного программирования, используемые в машиностроительной отрасли.
Пример решения станковой задачи.
Математическая модель задачи использования сырья.
Основные понятия и теоремы линейного программирования: допустимый, опорный план, теорема связи опорных планов задачи с угловыми точками выпуклого множества.
Формы записи задачи линейного программирования: каноническая, стандартная, общая.
Нахождение решения задачи линейного программирования на основе её геометрической интерпретации.
Свойства опорных решений задачи линейного программирования.
Правила построения первоначальной симплекс-таблицы, симплекс-таблицы, приведённой к какому-либо базису.
Признак оптимальности и другие утверждения на основе приведённой симплекс-таблицы.
Алгоритм симплекс-метода решения задач линейного программирования.
Правило перехода к новому базису для предотвращения зацикливания симплекс-метода.
Метод искусственного базиса для отыскания начального опорного решения.
Понятие двойственности в линейном программировании, теоремы двойственности.
Виды математических моделей двойственных задач.