Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

методичка 2 семестр интегралы

.pdf
Скачиваний:
42
Добавлен:
12.05.2015
Размер:
5.01 Mб
Скачать

14. Застосування криволінійного інтеграла 2-го роду

131

Параметризуємо шлях переміщення:

 

 

 

 

a cost,

 

 

 

x

 

 

 

 

 

0 t .

 

 

 

b sin t,

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[2.13.7]

 

 

A ydx xdy

 

(b sint ( a sint) a cost b cost)dt

 

L

 

0

 

 

 

 

 

 

ab (sin2 t cos2 t)dt ab.

0

14.2.Знайти циркуляцію векторного поля a x2y3i j zk , вздовж кон-

туру L : {x2 y2 R2, z z0 } (орієнтованого проти годинникової

стрілки якщо дивитися з додатного напряму осі Oz).

Розв’язання. [2.14.2.]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

Циркуляцію векторного поля

 

вздовж кривої L знаходять за

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

k L

формулою

 

 

[2.14.2]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

Pdx Qdy Rdz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CL(a

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2y3dx dy zdz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. до зад. 14.2

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Параметризуємо рівняння кола L.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R cost,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R sint,

0 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[2.13.6]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CL(

 

) x2y3dx dy zdz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(R2 cos2 t R3 sin3 t( R sint) R cost 0)dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R6 sin6 tdt R6 sin4 tdt R sint

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[2.3.8]

 

 

 

 

1

3 5

 

 

 

 

1 3

 

R

 

6

 

 

6

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

4R

 

 

sin tdt

 

sin tdt

 

 

4R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 6

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

2 2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коментар.Змінювання параметра t

від 0 до

2 відповідає напряму обходу

контуру, заданого в умові задачі.

132

Розділ 2. Визначені інтеграли

x a cos3 t, 0 t 2 .

14.3. Знайти площу фігури, обмежену астроїдою

y a sin3 t,

Розв’язання. [2.14.3.]

 

 

 

y

 

Площу, фігури D, обмежену замкненим контуром L, обчис-

L

люють за формулою:

 

 

 

OD

[2.14.3]

1

xdy ydx.

 

x

S(D)

2

 

 

 

 

 

L

 

 

 

S 21 xdy ydx

x 3a cos2 t sint,

 

Рис. до зад. 14.3

y 3a sin2 t cost

 

 

L

 

 

 

 

 

2

1 (3a2 sin2 t cos4 t 3a2 sin4 t cos2 t)dt 2 0

 

3a2

2

 

 

 

3a2

2

 

 

 

 

3a2

2

 

sin2 t cos2 tdt

 

sin2 2tdt

(1 cos 4t)dt

 

2

0

 

 

 

8

0

 

 

 

 

16

0

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3a

2

 

 

 

 

 

3 a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 4t

 

 

 

 

.

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

4

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.4. Знайти функцію за її диференціалом

 

 

y

)

 

e

y

 

 

 

 

2x(1 e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

dx

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

dy.

 

2

2

 

 

x

2

 

 

 

(1 x

)

 

 

1

 

 

 

Розв’язання. [2.15.2, 2.15.5.]

[Переконуємося в тому, що du є повним диференціалом.]:

P(x,y)

2x(1 ey )

,Q(x,y)

 

 

 

ey

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

(1

x2)2

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

[2.15.2]

Q

 

 

 

 

y

 

 

 

 

2xe

y

 

 

 

 

e

y

 

 

 

 

 

2x(1 e

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

2 2

 

 

 

2

2

 

x

 

 

2

 

 

 

 

 

 

(1 x

)

 

 

 

 

(1 x

)

 

 

 

1 x

 

Вираз du є повним диференціалом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функцію u(x, y) відновлюють за формулою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[2.15.5] x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x,y) P(t,y0)dt Q(x,t)dt C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

y0

 

 

 

 

 

 

 

 

1 .

Вибираємо за початкову точку M0(0; 0).

14. Застосування криволінійного інтеграла 2-го роду

133

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

e

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x,y)

 

0dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

1 dt

 

 

 

 

 

 

0

 

y

 

0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

e

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

y

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

2

 

 

 

 

 

 

1 x

2

 

 

1 x

2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коментар. Точку можна вибирати довільно, але так,

щоб функції P(x, y) та

Q(x, y) були у ній неперервними.

 

 

 

Запис P(t, y0 ) означає, що у функцію P(x, y) підставляють t

замість x і y0 за-

мість y.

 

 

 

Запис Q(x,t) означає, що у функцію Q(x, y) підставляють t

замість y, а змінну

x залишають без змін і під час інтегрування вважають сталим.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.5. Знайдіть роботу поля F

(4x 5y)

i

(2x y)

j

 

вздовж дуги AB кри-

вої L, де A(1; 9), B(3; 3), якщо:

 

 

 

1)L — ламана APB, де P(1; 3);

2)L — ламана AQB, де Q(3; 9);

3)L — відрізок AB.

14.6. Знайдіть роботу поля F уздовж дуги AB кривої L, якщо:

1)

 

 

2xyi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, L : y x2 1, A(1; 0), B(2; 3);

F

 

 

 

yj

2)

 

 

3xy2

 

(x y)

 

, L : y2 x 1, A(0;1), B(3;2);

F

i

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a(t

sint),

 

3)

F yi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(0;0), B(2 a;0);

xj ,L :

cost),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y a(1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

 

 

 

 

, L : x2 y2 1, y 0, A(1;0), B( 1;0);

F

yi

2xj

5)F (yz;zx;xy),L — ламана ABCD, де A(1;1;1), B(2;1;1),C(2;3;1), D(2;3; 4).

14.7.Знайдіть модуль циркуляції векторного поля a вздовж вказаного замкненого контуру L :

1)a y2i z2 j x 2k , L : {x y z 3, x 0,y 0, z 0};

2)a yi zj xk , L : {x 2 y2 z2 R2, x 0,y 0, z 0};

134

Розділ 2. Визначені інтеграли

3) a yi xj zk , L : {x2 y2 z2 4, x2 y2 z2, z 0};

4) a zi xj yk , L : {z x 2 y2 10, z 1}.

14.8. Обчисліть площу фігури, обмежену:

1) еліпсом x2 y2 1; a2 b2

2)кардіоїдою x a(2 cost cos 2t), y a(2 sin t sin 2t).

14.9.Відновіть функцію u за її повним диференціалом:

1)du (e2y 5y3ex )dx (2xe2y 15y2ex )dy;

2) du (3x 2 2xy y2 )dx (x2 2xy 3y2 )dy;

 

 

 

3) du

dx dy dz

;

4) du

dx 3dy

 

3y x z3

dz.

x y z

z

z2

 

 

 

 

 

Відповіді

14.5.1) 22; 2) 106; 3) 64.

14.6.1) 0; 2) 1133 ; 3) 6 a2; 4) 32 ; 4) 24.

14.7.1) 27; 2) 43 R2; 3) 4 ; 4) 9 .

14.8.1) ab; 2) 6 a2.

14.9. 1) u xe2y 5y3ex C; 2) u x3 x2y xy2 y3 C;

3)

u ln

 

x y z

 

C; 4) u

x 3y

 

z2

C.

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Поверхневий інтеграл 1-го роду

Навчальні задачі

15.1. Обчислити (x2 y2 3z2)d за частиною поверхні конуса

z x2 y2 , відтятою площиною z 1.

Розв’язання. [2.17.4.]

Поверхня однозначно проектується на площину Oxy у круг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y ,

 

2

 

2

 

z

 

x

y

1.

D :

0

z

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Поверхневий інтеграл 1-го роду

135

[Записуємо формулу для диференціал поверхні і знаходимо його.]

 

 

 

[2.16.4]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 z 2

z 2dxdy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

d 3d 4

 

2

 

 

 

2

2

2 2 .

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zx

 

 

 

 

 

x

 

 

,zy

 

 

 

y

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

1

 

 

 

 

 

2dxdy.

 

 

 

 

x2 y2

x2

y2

z

y

D

x

Рис. до зад. 15.1

 

 

 

 

 

 

 

 

[2.16.4]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 y2 3z2)d

 

(x2 y2

3(x2 y2))

 

2dxdy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

[2.7.4]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2

y2)dxdy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

3d d 4

 

d 3d 2

 

.

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

15.2. Знайти площу частини поверхні : x2

y2 z2 3,

вирізаної повер-

хнею : 2z x2

y2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання. [2.17.1.]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Площу поверхні знаходять за формулою

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

S( ) d .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частина поверхні сфери, вирізаної параболоїдом, проекту-

 

 

y

ється на площину Oxy у круг, обмежений колом:

 

 

 

 

x

 

2

y

2

z

2

3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. до зад. 15.2

x

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Верхню півсферу задає рівняння z 3 x2 y2 .

 

 

[2.16.4]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

1 zx2

zy2dxdy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zx

 

 

x

 

 

 

,zy

 

 

 

y

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x2 y2

 

 

 

 

3 x2 y2

 

 

x2

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

1

 

 

 

dxdy

 

3

 

 

dxdy.

3 x2 y2

3 x2 y2

 

 

 

3 x2 y2

136

Розділ 2. Визначені інтеграли

 

[2.16.4]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[2.7.4]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S( ) d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dxdy

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2

 

 

 

 

DOxy

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 d(3 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 d

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2 |

2 (6 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

3) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.3.1. Знайти

масу частини поверхні

 

: z2 2px, відтятою

поверхнями

: y x,y x,z 0,z ( z y z, 0)

з

густиною

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання. [2.17.2.]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Масу поверхні з густиною (x,y,z) знаходять за формулою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[2.17.2]

(x,y,z)d 0d .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

Частина поверхні параболічного циліндра

 

 

: x

1

 

 

2

 

 

DOyz

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

2p

 

 

 

 

 

 

 

однозначно проектується на площину Oyz в область DOyz .

 

 

 

 

 

 

 

 

[2.16.4]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

1 xy2 xz2dydz

1

 

dydz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. до зад. 15.3.1

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[2.16.4]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m( ) 0d 0

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

dydz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOyz

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1 p2 dz

dy 0( ) z

 

 

1 p2 dz

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

p

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3p

( ) p

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.3.2. Знайти масу частини поверхні : 2az x2 y2,a 0, вирізаної поверхнею : x2 y2 a2, з густиною 15 z .

Розв’язання. [2.17.2.]

Масу поверхні з густиною знаходять за формулою

[2.17.2]

m( ) (x, y, z)d 15 z d .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Поверхневий інтеграл 1-го роду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

137

Частина

 

 

поверхні

 

 

 

 

 

 

 

гіперболічного

 

 

 

 

 

 

 

 

параболоїда

 

 

 

 

 

y

 

 

 

z

x2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y2

 

 

a2

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

2a

 

 

, вирізана коловим циліндром

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проектується на площину Oxy у круг D : x2

y2

 

a

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[2.16.4]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

1 zx2

zy2dxdy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. до зад. 15.3.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x2

 

y2

dxdy

 

a2 x2 y2

dxdy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[2.7.4]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m x, y, z d 15

 

x2

y2

 

 

 

 

a2 x2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dxdy

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2

sin2

 

 

 

 

 

a2 2

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

2

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

2

 

 

cos 2

 

 

 

 

 

a2 2

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

8

 

cos 2 d

 

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

d

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2 5 2

 

 

 

 

 

 

2a

2

 

 

 

2

 

 

 

2 3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2 2 1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4a

 

 

 

 

 

2 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[2.3.7]

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[2.3.5]

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коментар.

 

 

cos 2

 

d

 

4

 

 

 

 

 

 

cos 2

 

d

 

8 cos 2 d .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

15.4. Обчисліть:

1)

(x2

y2)d , де — сфера x2 y2 z2 a2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

y2 z2 d , де — півсфера y

 

 

 

 

 

 

2)

R2 x2

z2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

y

2

z

2

3)

 

x2 y2d , де — бічна поверхня

конуса

 

2

2

2

 

 

b);

 

a

 

 

a

 

b

 

(0 z

 

 

 

 

 

 

 

 

138

Розділ 2. Визначені інтеграли

4) (x y z)d , де

 

— частина площини x 2y 4z 4,

 

 

 

x 0,y 0,z 0;

 

 

5) xyzd , де — частина поверхні параболоїда 2z x2 y2, z 1.

15.5. Обчисліть площу частини:

 

 

 

 

 

 

1)

 

сфери

x2 y2 z2

a2,

що

міститься

всередині

циліндра

x2 y2 ax

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

сфери

x2 y2 z2

2a2,

що міститься

всередині

конуса

x2

y2 z2;

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

конуса x2

y2 z2, розташованої в 1-му октанті й обмеженою пло-

щиною y z a;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

конуса

z

x2 y2 , що

міститься

всередині

циліндра

x2

y2 2x;

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

параболоїда

2z x2

y2,

що

міститься

всередині

циліндра

(x2 y2 )2 x 2 y2 ;

 

 

 

 

 

 

6)

 

параболоїда

2z x2

y2,

що

міститься

всередині

циліндра

x2

y2 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7) гіперболічного параболоїда az xy, що міститься всередині цилінд-

ра (x 2 y2 )2 2a2xy;

8) сфери x2 y2 z2

a2, що міститься всередині циліндра

(x 2 y2 )2 2a2xy.

15.6. Обчисліть масу, розподілену:

1) по сфері x2 y2 z2 R2 з густиною 0

x2 y2 ;

2)по частині параболоїда x2 y2 2z, z 1, з густиною 0z.

15.7.Знайдіть координати центра мас однорідної поверхні:

1)x2 y2 z2 R2, x 0,y 0, z 0;

2) z R2 x2 y2 , x 0,y 0, x y R;

3) z x2 y2 , x2 y2 x.

 

 

 

 

 

16. Поверхневий інтеграл 2-го роду

139

Відповіді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

2 a2

a2 b2

 

 

 

 

 

15.4. 1)

a4

; 2)

2 R4; 3)

; 4) 7

21

; 5) 0.

 

3

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) 2a2( 2);

 

 

 

2 a2(2

 

 

 

 

15.5.

2)

 

2); 3)

a2 (20 3 ); 8) 2( 4 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)a2.

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

2 (1 6

3) 0

 

 

 

 

 

 

15.6.

1) 0

 

R

; 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

2

 

2

 

 

 

 

2 1

 

R

 

 

R

 

 

 

 

 

 

15.7.

1)

;

 

 

;

; 2)

 

 

 

 

R;

 

 

 

 

R;

 

 

 

 

 

 

2

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 ; 2

R ; 3)

 

 

 

20 3

 

 

2

 

 

 

 

 

4) 2; 5)

;

6)

(2

2 1);

7)

 

 

 

9

 

 

3

 

 

 

 

 

 

1

 

16

 

 

; 0;

 

 

 

 

.

 

2

 

 

 

 

 

9

16. Поверхневий інтеграл 2-го роду

Навчальні задачі

16.1.1. Обчислити (2z x)dydz 3zdxdy (x 2z)dzdx,

де — верхній

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бік трикутника x 4y z 4,x,y,z 0.

 

 

 

Розв’язання. [2.18.6.]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

Поверхня : z 4 x 4y

однозначно проектується на

площину Oxy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Щоб обчислити інтеграл скористаємося формулою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[2.18.6]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a,n0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

(a,n

)d

 

dxdy.

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOxy

 

 

 

 

z z(x,y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нормальний вектор до верхнього боку площини

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 42 12 18;

 

 

i

j

k

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. до зад. 16.1.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

j

 

 

 

k

;

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2x z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

3zj

(x 2z)k

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a

,n

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x z 12

z

x 2z 3x

13z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

1 .

32

140

Розділ 2. Визначені інтеграли

(

 

,

 

0 )

 

 

 

 

a

n

(3x 13z)

 

z 4 x 4y

52 10x 52y.

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

z 4 x 4y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2z x)dydz (x 2z)dzdx 3zdxdy

 

 

 

[2.7.1]

(52 10x 52y)dxdy

 

 

DOxy

 

 

1

4 4y

(52 10x 52y)dx 128 .

dy

0

0

 

3

 

 

Коментар. У загальному рівняння площини Ax By Cz D 0 коефі-

цієнти

A,B,C є відповідними

координатами нормального вектора. Вектор

(1;4;1)T

утворює гострий кут з віссю Oz і задає верхній бік поверхні (нижній

бік поверхні задає вектор

 

( 1; 4; 1)T ).

n

16.1.2. Обчислити (5x2 5y2

z2 )dxdy, де — зовнішній бік частини пі-

 

 

 

всфери z 4 x2 y2 , вирізаної конусом z x2 y2 .

Розв’язання. [2.18.5.]

Поверхневий інтеграл обчислимо за формулою

 

 

z

 

 

 

 

 

R(x,y,z)dxdy

[2.18.5]

n

R(x,y,z(x,y))dxdy.

 

 

 

 

 

 

DOxy

 

 

 

 

 

 

 

 

y

На зовнішньому боці поверхні нормаль утворює гост-

 

 

 

 

 

x

рий кут із віссю Oz, отже перед інтегралом вибираємо

 

 

Рис. до зад. 16.1.2

знак « ».

 

 

 

 

 

 

 

Частина поверхні однозначно проектується в область, обмежену кривою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

y

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x

2

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[2.18.5]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5x2 5y2 z2)dxdy

 

(5x2 5y2

(4 x2 y2))dxdy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOxy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 (1 x2

 

 

 

 

 

[2.7.4]

4 (1 2) d d

y2)dxdy

 

 

 

DOxy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

4

 

d

 

 

(1 ) d 4 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0