Теория Графов 3

Связность графа, точки сочленения, мосты

Оценка числа ребер в связном графе

Теорема 1.1

Для любого связного (n; m)-графа справедлива следующие оценки (верхняя и нижняя) числа ребер

n 1 6 m 6 n(n 1)

2

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.

Правое неравенство очевидно, поскольку число ребер в графе не может превосходить числа ребер в полном графе на n

вершинах.

Проверим левое неравенство (индукция по числу вершин в графе)

Б. И. При n = 1 имеем m = 0 (удовл. неравенству). При n = 2 в силу связности m = 1 (удовл. неравенству)

Ш. И. Предположим, чтоРасиннеравенствоÎ.Â. Теориявыполненографов äëÿ âñåõ

Связность графа, точки сочленения, мосты

Оценка числа ребер в связном графе

Теорема 1.1

Для любого связного (n; m)-графа справедлива следующие оценки (верхняя и нижняя) числа ребер

n 1 6 m 6 n(n 1)

2

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.

Правое неравенство очевидно, поскольку число ребер в графе не может превосходить числа ребер в полном графе на n

вершинах.

Проверим левое неравенство (индукция по числу вершин в графе)

Б. И. При n = 1 имеем m = 0 (удовл. неравенству). При n = 2 в силу связности m = 1 (удовл. неравенству)

Ш. И. Предположим, чтоРасиннеравенствоÎ.Â. Теориявыполненографов äëÿ âñåõ

Связность графа, точки сочленения, мосты

Доказательство

Ш. И. Предположим, что неравенство выполнено для всех графов с меньшим чем n числом вершин.

Связность графа, точки сочленения, мосты

Доказательство

Ш. И. Предположим, что неравенство выполнено для всех графов с меньшим чем n числом вершин.

Возьмем графе G = (V; E) такой, что jV j = n вершин.

Связность графа, точки сочленения, мосты

Доказательство

Ш. И. Предположим, что неравенство выполнено для всех графов с меньшим чем n числом вершин.

Возьмем графе G = (V; E) такой, что jV j = n вершин.

Пусть v 2 V , и G0 = G v.

Связность графа, точки сочленения, мосты

Доказательство

Ш. И. Предположим, что неравенство выполнено для всех графов с меньшим чем n числом вершин.

Возьмем графе G = (V; E) такой, что jV j = n вершин. Пусть v 2 V , и G0 = G v.

Пусть G1, . . . , Gk компоненты связности G0

Связность графа, точки сочленения, мосты

Доказательство

Ш. И. Предположим, что неравенство выполнено для всех графов с меньшим чем n числом вершин.

Возьмем графе G = (V; E) такой, что jV j = n вершин. Пусть v 2 V , и G0 = G v.

Пусть G1, . . . , Gk компоненты связности G0 Заметим, что k = 1, то G0 связный (но этот случай не потребует отдельного рассмотрения)

Связность графа, точки сочленения, мосты

Доказательство

Ш. И. Предположим, что неравенство выполнено для всех графов с меньшим чем n числом вершин.

Возьмем графе G = (V; E) такой, что jV j = n вершин. Пусть v 2 V , и G0 = G v.

Пусть G1, . . . , Gk компоненты связности G0 Заметим, что k = 1, то G0 связный (но этот случай не потребует отдельного рассмотрения)

Для каждого i в компоненте Gi найдется вершина vi, смежная с v (обратное противоречит связности G)