Теория Графов 3

Связность графа, точки сочленения, мосты

Удаление моста в графе

Лемма 1.1 (об удалении моста)

При удалении из графа моста число компонент связности увеличивается на единицу.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G = (V; E) связный граф, e = uvмост в G.

Очевидно, при удалении моста вершины u и v оказываются в

разных компонентах связности G1 = (V1; E2) è G2 = (V2; E2) графа G e.

ßñíî, ÷òî G1 состоит из всех вершин w графа G, для которых есть (u; w)-маршрут, не проходящий через e.

Аналогично, G2 состоит из всех вершин w графа G, для которых есть (v; w)-маршрут, не проходящий через e.

Расин О.В. Теория графов

Связность графа, точки сочленения, мосты

Удаление моста в графе

Лемма 1.1 (об удалении моста)

При удалении из графа моста число компонент связности увеличивается на единицу.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G = (V; E) связный граф, e = uvмост в G.

Очевидно, при удалении моста вершины u и v оказываются в

разных компонентах связности G1 = (V1; E2) è G2 = (V2; E2) графа G e.

ßñíî, ÷òî G1 состоит из всех вершин w графа G, для которых есть (u; w)-маршрут, не проходящий через e.

Аналогично, G2 состоит из всех вершин w графа G, для которых есть (v; w)-маршрут, не проходящий через e.

Расин О.В. Теория графов

Связность графа, точки сочленения, мосты

Доказательство

Покажем, что любая x 2 V лежит либо в G1 ëèáî â G2.

Связность графа, точки сочленения, мосты

Доказательство

Покажем, что любая x 2 V лежит либо в G1 ëèáî â G2.

В силу связности в G (по лемме о простой цепи) существует любой простая (x; u)-цепь P

Связность графа, точки сочленения, мосты

Доказательство

Покажем, что любая x 2 V лежит либо в G1 ëèáî â G2.

В силу связности в G (по лемме о простой цепи) существует любой простая (x; u)-цепь P

Если P не проходит через e, то x 2 V1

Связность графа, точки сочленения, мосты

Доказательство

Покажем, что любая x 2 V лежит либо в G1 ëèáî â G2.

В силу связности в G (по лемме о простой цепи) существует любой простая (x; u)-цепь P

Если P не проходит через e, то x 2 V1

Пусть P проходит через e, но тогда

Связность графа, точки сочленения, мосты

Доказательство

Покажем, что любая x 2 V лежит либо в G1 ëèáî â G2.

В силу связности в G (по лемме о простой цепи) существует любой простая (x; u)-цепь P

Если P не проходит через e, то x 2 V1

Пусть P проходит через e, но тогда

Связность графа, точки сочленения, мосты

Доказательство

Покажем, что любая x 2 V лежит либо в G1 ëèáî â G2.

В силу связности в G (по лемме о простой цепи) существует любой простая (x; u)-цепь P

Если P не проходит через e, то x 2 V1

Пусть P проходит через e, но тогда

Связность графа, точки сочленения, мосты

Доказательство

Покажем, что любая x 2 V лежит либо в G1 ëèáî â G2.

В силу связности в G (по лемме о простой цепи) существует любой простая (x; u)-цепь P

Если P не проходит через e, то x 2 V1

Пусть P проходит через e, но тогда

x 2 V2

Таким образом любая вершина G лежит либо в G1 ëèáî â G2

Расин О.В. Теория графов

Связность графа, точки сочленения, мосты

Доказательство

Покажем, что любая x 2 V лежит либо в G1 ëèáî â G2.

В силу связности в G (по лемме о простой цепи) существует любой простая (x; u)-цепь P

Если P не проходит через e, то x 2 V1

Пусть P проходит через e, но тогда

Таким образом любая вершина G лежит либо в G1 ëèáî â G2 значит G e имеет в точности две компоненты связности.

Расин О.В. Теория графов