Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Теория Графов 3

.pdf
Скачиваний:
28
Добавлен:
03.05.2015
Размер:
1.02 Mб
Скачать

Связность графа, точки сочленения, мосты

Свойство точки сочленения

Предложение 1.2

Пусть G = (V; E) связный граф, u точка сочленения. Для

любой пары компонент связности G1 = (V1; E1) è G2 = (V; 2; E2) графа G u, åñëè v1 2 V1 è v2 2 V2, любой (v1; v2)-маршрут в графе G проходит через точку u.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.

Расин О.В.

Теория графов

 

 

Связность графа, точки сочленения, мосты

Свойство точки сочленения

Предложение 1.2

Пусть G = (V; E) связный граф, u точка сочленения. Для

любой пары компонент связности G1 = (V1; E1) è G2 = (V; 2; E2) графа G u, åñëè v1 2 V1 è v2 2 V2, любой (v1; v2)-маршрут в графе G проходит через точку u.

Д о к а з а т е л ь с т в о. о/п Пусть существует (v1; v2)-маршрут P графа G, не проходящий через u.

Расин О.В.

Теория графов

 

 

Связность графа, точки сочленения, мосты

Свойство точки сочленения

Предложение 1.2

Пусть G = (V; E) связный граф, u точка сочленения. Для

любой пары компонент связности G1 = (V1; E1) è G2 = (V; 2; E2) графа G u, åñëè v1 2 V1 è v2 2 V2, любой (v1; v2)-маршрут в графе G проходит через точку u.

Д о к а з а т е л ь с т в о. о/п Пусть существует (v1; v2)-маршрут P графа G, не проходящий через u.

P v2 G2 При удалении вершины u удаляются кроме нее v1 u еще и ребра, инцидентные u.

G1

Расин О.В.

Теория графов

 

 

Связность графа, точки сочленения, мосты

Свойство точки сочленения

Предложение 1.2

Пусть G = (V; E) связный граф, u точка сочленения. Для

любой пары компонент связности G1 = (V1; E1) è G2 = (V; 2; E2) графа G u, åñëè v1 2 V1 è v2 2 V2, любой (v1; v2)-маршрут в графе G проходит через точку u.

Д о к а з а т е л ь с т в о. о/п Пусть существует (v1; v2)-маршрут P графа G, не проходящий через u.

 

 

P v2 G2

 

еще и ребра, инцидентные u.

 

 

 

 

 

 

 

При удалении вершины u удаляются кроме нее

v

1

u

 

Однако, u = P, поэтому при удалении u все

G1

 

 

2

 

 

 

ребра пути P останутся.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расин О.В.

Теория графов

 

 

Связность графа, точки сочленения, мосты

Свойство точки сочленения

Предложение 1.2

Пусть G = (V; E) связный граф, u точка сочленения. Для

любой пары компонент связности G1 = (V1; E1) è G2 = (V; 2; E2) графа G u, åñëè v1 2 V1 è v2 2 V2, любой (v1; v2)-маршрут в графе G проходит через точку u.

Д о к а з а т е л ь с т в о. о/п Пусть существует (v1; v2)-маршрут P графа G, не проходящий через u.

 

 

P v2 G2

 

еще и ребра, инцидентные u.

 

 

 

 

 

 

 

При удалении вершины u удаляются кроме нее

v

1

u

 

Однако, u = P, поэтому при удалении u все

G1

 

 

2

 

 

 

ребра пути P останутся.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит, вершины v1 è v2 должны лежать в одной и той же компоненте связности графа G u.

Расин О.В. Теория графов

Связность графа, точки сочленения, мосты

Свойство точки сочленения

Предложение 1.2

Пусть G = (V; E) связный граф, u точка сочленения. Для

любой пары компонент связности G1 = (V1; E1) è G2 = (V; 2; E2) графа G u, åñëè v1 2 V1 è v2 2 V2, любой (v1; v2)-маршрут в графе G проходит через точку u.

Д о к а з а т е л ь с т в о. о/п Пусть существует (v1; v2)-маршрут P графа G, не проходящий через u.

 

 

P v2 G2

 

еще и ребра, инцидентные u.

 

 

 

 

 

 

 

При удалении вершины u удаляются кроме нее

v

1

u

 

Однако, u = P, поэтому при удалении u все

G1

 

 

2

 

 

 

ребра пути P останутся.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит, вершины v1 è v2 должны лежать в одной и той же компоненте связности графа G u. Получили противоречие. #

Расин О.В. Теория графов

Связность графа, точки сочленения, мосты

Удаление моста в графе

Расин О.В.

Теория графов

 

 

Связность графа, точки сочленения, мосты

Удаление моста в графе

Лемма 1.1 (об удалении моста)

При удалении из графа моста число компонент связности увеличивается на единицу.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G = (V; E) связный граф, e = uvмост в G.

Расин О.В.

Теория графов

 

 

Связность графа, точки сочленения, мосты

Удаление моста в графе

Лемма 1.1 (об удалении моста)

При удалении из графа моста число компонент связности увеличивается на единицу.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G = (V; E) связный граф, e = uvмост в G.

Очевидно, при удалении моста вершины u и v оказываются в

разных компонентах связности G1 = (V1; E2) è G2 = (V2; E2) графа G e.

Расин О.В.

Теория графов

 

 

Связность графа, точки сочленения, мосты

Удаление моста в графе

Лемма 1.1 (об удалении моста)

При удалении из графа моста число компонент связности увеличивается на единицу.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G = (V; E) связный граф, e = uvмост в G.

Очевидно, при удалении моста вершины u и v оказываются в

разных компонентах связности G1 = (V1; E2) è G2 = (V2; E2) графа G e.

ßñíî, ÷òî G1 состоит из всех вершин w графа G, для которых есть (u; w)-маршрут, не проходящий через e.

Расин О.В.

Теория графов