Теория Графов 3
.pdfСвязность графа, точки сочленения, мосты
Свойство точки сочленения
Предложение 1.2
Пусть G = (V; E) связный граф, u точка сочленения. Для
любой пары компонент связности G1 = (V1; E1) è G2 = (V; 2; E2) графа G u, åñëè v1 2 V1 è v2 2 V2, любой (v1; v2)-маршрут в графе G проходит через точку u.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.
Расин О.В. |
Теория графов |
|
|
Связность графа, точки сочленения, мосты
Свойство точки сочленения
Предложение 1.2
Пусть G = (V; E) связный граф, u точка сочленения. Для
любой пары компонент связности G1 = (V1; E1) è G2 = (V; 2; E2) графа G u, åñëè v1 2 V1 è v2 2 V2, любой (v1; v2)-маршрут в графе G проходит через точку u.
Д о к а з а т е л ь с т в о. о/п Пусть существует (v1; v2)-маршрут P графа G, не проходящий через u.
Расин О.В. |
Теория графов |
|
|
Связность графа, точки сочленения, мосты
Свойство точки сочленения
Предложение 1.2
Пусть G = (V; E) связный граф, u точка сочленения. Для
любой пары компонент связности G1 = (V1; E1) è G2 = (V; 2; E2) графа G u, åñëè v1 2 V1 è v2 2 V2, любой (v1; v2)-маршрут в графе G проходит через точку u.
Д о к а з а т е л ь с т в о. о/п Пусть существует (v1; v2)-маршрут P графа G, не проходящий через u.
P v2 G2 При удалении вершины u удаляются кроме нее v1 u еще и ребра, инцидентные u.
G1
Расин О.В. |
Теория графов |
|
|
Связность графа, точки сочленения, мосты
Свойство точки сочленения
Предложение 1.2
Пусть G = (V; E) связный граф, u точка сочленения. Для
любой пары компонент связности G1 = (V1; E1) è G2 = (V; 2; E2) графа G u, åñëè v1 2 V1 è v2 2 V2, любой (v1; v2)-маршрут в графе G проходит через точку u.
Д о к а з а т е л ь с т в о. о/п Пусть существует (v1; v2)-маршрут P графа G, не проходящий через u.
|
|
P v2 G2 |
|
еще и ребра, инцидентные u. |
|
|
|
||
|
|
|
|
При удалении вершины u удаляются кроме нее |
v |
1 |
u |
|
Однако, u = P, поэтому при удалении u все |
G1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
ребра пути P останутся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расин О.В. |
Теория графов |
|
|
Связность графа, точки сочленения, мосты
Свойство точки сочленения
Предложение 1.2
Пусть G = (V; E) связный граф, u точка сочленения. Для
любой пары компонент связности G1 = (V1; E1) è G2 = (V; 2; E2) графа G u, åñëè v1 2 V1 è v2 2 V2, любой (v1; v2)-маршрут в графе G проходит через точку u.
Д о к а з а т е л ь с т в о. о/п Пусть существует (v1; v2)-маршрут P графа G, не проходящий через u.
|
|
P v2 G2 |
|
еще и ребра, инцидентные u. |
|
|
|
||
|
|
|
|
При удалении вершины u удаляются кроме нее |
v |
1 |
u |
|
Однако, u = P, поэтому при удалении u все |
G1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
ребра пути P останутся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, вершины v1 è v2 должны лежать в одной и той же компоненте связности графа G u.
Расин О.В. Теория графов
Связность графа, точки сочленения, мосты
Свойство точки сочленения
Предложение 1.2
Пусть G = (V; E) связный граф, u точка сочленения. Для
любой пары компонент связности G1 = (V1; E1) è G2 = (V; 2; E2) графа G u, åñëè v1 2 V1 è v2 2 V2, любой (v1; v2)-маршрут в графе G проходит через точку u.
Д о к а з а т е л ь с т в о. о/п Пусть существует (v1; v2)-маршрут P графа G, не проходящий через u.
|
|
P v2 G2 |
|
еще и ребра, инцидентные u. |
|
|
|
||
|
|
|
|
При удалении вершины u удаляются кроме нее |
v |
1 |
u |
|
Однако, u = P, поэтому при удалении u все |
G1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
ребра пути P останутся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, вершины v1 è v2 должны лежать в одной и той же компоненте связности графа G u. Получили противоречие. #
Расин О.В. Теория графов
Связность графа, точки сочленения, мосты
Удаление моста в графе
Расин О.В. |
Теория графов |
|
|
Связность графа, точки сочленения, мосты
Удаление моста в графе
Лемма 1.1 (об удалении моста)
При удалении из графа моста число компонент связности увеличивается на единицу.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G = (V; E) связный граф, e = uvмост в G.
Расин О.В. |
Теория графов |
|
|
Связность графа, точки сочленения, мосты
Удаление моста в графе
Лемма 1.1 (об удалении моста)
При удалении из графа моста число компонент связности увеличивается на единицу.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G = (V; E) связный граф, e = uvмост в G.
Очевидно, при удалении моста вершины u и v оказываются в
разных компонентах связности G1 = (V1; E2) è G2 = (V2; E2) графа G e.
Расин О.В. |
Теория графов |
|
|
Связность графа, точки сочленения, мосты
Удаление моста в графе
Лемма 1.1 (об удалении моста)
При удалении из графа моста число компонент связности увеличивается на единицу.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G = (V; E) связный граф, e = uvмост в G.
Очевидно, при удалении моста вершины u и v оказываются в
разных компонентах связности G1 = (V1; E2) è G2 = (V2; E2) графа G e.
ßñíî, ÷òî G1 состоит из всех вершин w графа G, для которых есть (u; w)-маршрут, не проходящий через e.
Расин О.В. |
Теория графов |
|
|