1.11. Метод законов Кирхгофа

 

В электрических цепях, содержащих активные элементы (элек­тронные лампы, транзисторы, операционные усилители и другие зависимые источники) важным режимом работы является стати­ческий. В статическом режиме на электроды активного элемента подаются постоянные токи и напряжения, обеспечивающие задан­ные условия работы того или иного устройства. Статический режим характеризуется зависимостями между постоянными токами и напряжениями в отдельных частях электрической цепи и является одним из основных режимов работылюбого электрического уст­ройства. Поэтому анализ цепей в режиме постоянного тока играет важную роль в общей теории электрической связи.

Как отмечалось в § 1.2 при постоянном токе и напряжении ин­дуктивность эквивалентна короткозамкнутому участку (рис. 1.1, а), емкость — разрыву цепи. Таким образом, в режиме постоянного тока в модели цепи будут отсутствовать реактивные элементы, и она приобретет чисто резистивный характер. Линейные резистивные цепи полностью описываются системой линейных алгебраиче­ских уравнений, составляемых на основании закона Кирхгофа. В этой главе рассмотрим основные методы анализа линейных резистивных цепей, находящихся под воздействием постоянных токов и напряжений. Постоянные токи и напряжения в дальнейшем будем обозначать прописными буквами I и U соответственно.

Метод расчета электрических цепей, основанный на законах Кирхгофа, в которых независимыми переменными являются токи в ветвях, называют методом токов ветвей. В соответствии с этим методом для нахождения токов или напряжений ветвей составля­ются (п_у — 1) уравнений (1.16) по ЗТК и (n_B — n_у + 1) уравнений (1.17) по ЗНК. В результате получаем систему из (n_у — 1) + (n_B —  n_у + 1) = n_B линейно-независимых уравнений, число которых равно числу токов ветвей. Совместное решение этой системы по­зволяет найти все токи.

При выборе независимых контуров необходимо руководство­ваться топологией электрической цепи (§ 1.3): составить граф це­пи, выбрать дерево, дополнить его хордой, при этом образуется контур. Путем последовательного дополнения хордами дерева до исходного графа получаем (n_B — п_у +1) независимых контуров.

Пример. Рассчитать токн ветвей схемы резнстнвноп цепи, изображенной на рис. 2.1. а по методу уравнений Кирхгофа.

Построим граф цепи (рис. 2.1, б) и выберем дерево (рис. 2.1, в). Допол­ним дерево хордами 2, 5, 6 (на рис. 2.1, в показано пунктиром). В результате образуется три независимых контура I,II, III (рис. 2.1, я). Составим уравне­ние по ЗТК и ЗНК.

Схема имеет n_y = 4 узла, п_B = 6 ветвей. Выберем узел 4 в качестве базис­ного и составим n_у = 3 уравнения по ЗТК:

 

Решая совместно системы уравнений (2.1) и (2.2), найдем искомые токи.

При использовании законов Кирхгофа в качестве независимых переменных можно было взять напряжения ветвей (метод напря­жения ветвей) или токи одних ветвей и напряжения других (гиб­ридный метод).

В случае, если в цепи имеется ветвь с источником тока, то не­известным параметром в этой ветви является напряжение на зажимах источника, которое можно найти методом напряжения ветвей.