4.2. Уравнения передачи четырехполюсника

 

Системы уравнений четырехполюсника. Основной задачей тео­рии четырехполюсников является установление соотношений меж­ду четырьмя величинами: напряжениями на входе и выходе, а также токами, протекающими через входные и выходные зажимы. Уравнения, дающие зависимость между U_1, U_2, I_1, I_2, называют­ся уравнениями передачи четырехполюсника. Для линейных че­тырехполюсников эти уравнения будут линейными. Величины, связывающие в уравнениях передачи напряжения и токи, называ­ются параметрами четырехполюсников.

Сложная электрическая цепь (например, канал связи), имеющая входные и выходные зажимы, может рассматриваться как совокуп­ность четырехполюсников, соединенных по определенной схеме. Зная параметры этих четырехполюсников, можно вычислить пара­метры сложного четырехполюсника и получить тем самым зависи­мость между напряжениями и токами на зажимах результирующего сложного четырехполюсника, не производя расчетов всех напря­жений и токов внутри заданной схемы.

Кроме того, теория четырехполюсников позволяет решить об­ратную задачу: по заданным напряжениям и токам найти пара­метры четырехполюсника и затем построить его схему и рассчитать элементы, т. е. решить задачу синтеза.

Пусть четырехполюсник содержит п независимых контуров. Отнесем первый контур ко входу четырехполюсника (I_K1 = I₁), второй контур — к его выходу (I_K2 = I_K2). Будем считать, что во внутренних контурах четырехполюсника отсутствуют независимые источники энергии.

При рассмотрении четырехполюсника важно заранее условиться о положительных направлениях напряжений и токов. В дальнейшем будем придерживаться положительных направлений, показанных стрелками на рис. 12.1, если особо не будут оговорены другие случаи.

Составим систему уравнений для контурных токов (см. § 2.4):

Коэффициенты Y₁₁, Y₁₂, Y₂₁, и Y₂₂, в уравнениях (12.2) называ­ются Y-.параметрами, или параметрами проводимостей четырех­полюсника, так как по размерности они являются именно таковы­ми. Уравнения (12.2) называются уравнениями передачи четырех­полюсника в Y-параметрах. Эти уравнения представляют собой од­ну из возможных форм уравнений передачи. Она позволяют нахо­дить любую пару из значений I₁,I_2, U_1,  и U_2,, если заданы значе­ния другой пары.

Помимо уравнений в форме (12.2) существует еще пять форм уравнений передачи. Уравнения, связывающие напряжения U_1, U_2,  и токи I₁, I₂

содержат в качестве коэффициентов параметры сопротивлений че­тырехполюсника, или Z-параметры, и называются уравнениями пе­редачи в Z-параметрах. Параметры Z₁₁, Z₁₂, Z₂₁ и Z₂₂ имеют раз­мерность сопротивлений. Заметим, что они не являются обратными величинами по отношению к параметрам проводимости, таким обра­зом, например,  Не следует также пу­тать эти параметры с собственными и взаимными сопротивлениями контуров Z₁₁, Z₁₂ и т. д. в уравнениях (12.1) для контурных токов.

Коэффициенты, входящие в систему уравнений, связывающую входные U_1,  и I₁ и выходные U_2,  и I₁ напряжения и токи

называются   А-параметрами,   или   обобщенными   параметрами. Уравнения (12.4) называются уравнениями передачи в А- параметpax. Параметры А₁₁ и А₂₂ являются безразмерными, параметр А₂₁имеет  размерность  сопротивления;   параметр А%\   —  размерность проводимости:

     Приведем еще две формы уравнений передачи:

Коэффициенты Н₁₁, Н₁₂, Н₂₁и Н₂₂ называются H-параметрами и применяются при рассмотрении схем с транзисторами. Параметры Н₁₂ и Н₂₁ являются безразмерными, а параметры Н₁₁ и Н₂₂имеют размерности сопротивления и проводимости.

Коэффициенты F₁₁, F₁₂, F₂₁ и F₂₂ называются F-параметрами и применяются при рассмотрении схем с электронными лампами. Параметры F₁₂ и F₂₁ безразмерные, а параметры F₁₁ иF₂₂ имеют размерности проводимости и сопротивления. Уравнения (12.5) на­зываются соответственно уравнениями передачи в H-параметрах и F-параметрах.

Все формы уравнений передачи принципиально равноправны. Выбор той или иной формы зависит исключительно от задачи, ко­торая в данном случае решается.

Полная совокупность параметров любой системы уравнений пе­редачи образует систему параметров четырехполюсника. Так, сис­тему Y-параметров четырехполюсника образует совокупность его параметров Y₁₁, Y₁₂, Y₂₁, Y_22.

Два четырехполюсника, имеющие одинаковые системы пара­метров, независимо от их внутренней структуры, числа элементов и т. д., характеризуются, очевидно, одинаковыми уравнениями передачи. Такие четырехполюсники называются эквивалентны­ми, и при включении любого из них между одними и теми же внешними цепями на их зажимах устанавливаются одинаковые режимы.

Свойства параметров-коэффициентов. Системы Y-, Z-, А-, Н- и F-параметров образованы из коэффициентов уравнений передачи, и поэтому часто их объединяют одним названиемпараметры-коэф­фициенты. Рассмотрим основные свойства параметров-коэффи­циентов.

1. Параметры-коэффициенты определяются только схемой че­тырехполюсника и ее элементами и не зависят от внешних цепей, между которыми может быть включен четырехполюсник, т. е. они характеризуют собственно четырехполюсник.

Пример. На входе Г-образного четырехполюсника (см. рис. 12.2, б), под­ключенного к внешним цепям, действует напряжение U₁ и ток I₁, а на выходе напряжение U₂ и ток I₂. ОпределимА-параметры четырехполюсника.

В соответствии с ЗНК и ЗТК U₁ = U₂ + I₁Z₁и I₁ = U₂/Z₂ + I_2.

Подставляя выражение для тока I₁ в первое равенство, получаем

2. Все системы параметров-коэффициентов описывают один и тот же четырехполюсник, поэтому между различными системами параметров-коэффициентов существует однозначная взаимосвязь.

Пример. Установим связь между А-параметрами и Z-параметрами. Решая систему уравнений в Z-параметрах (12.3) относительно неизвестных U₁ и I₁ находим:

Аналогичным образом можно установить связь между другими системами параметров. В табл. 12.1 приведены соотношения между различными система­ми параметров — коэффициентов.

3. Пассивный четырехполюсник полностью характеризуется не более чем тремя независимыми параметрами. Действительно, в многоконтурной схеме пассивного четырехполюсника взаимные со­противления Z_km и Z_km k-го и т-то контуров равны между собой. Следовательно, Y₁₂ = — Y₂₁ .Зная связь между Y-параметрами и Z-параметрами, можно установить, что Z₁₂ = —Z_21.. Далее можно по­казать, что для А-параметров справедливо соотношение

= Н_{21 ,} Н₂₂; F_11, F₁₂= F₂₁и F₂₂ или любые три из параметров А₁₁, А_12, А₂₁и А_22.

4. При изменении направления передачи энергии через четы­рехполюсник во всех выражениях, включающих А-параметры, ко­эффициенты А₁₁ и А₂₂ меняются местами.

Рассмотрим передачу энергии через четырехполюсник в об­ратном направлении, т. е. от зажимов 2—2' к зажимам 1 —1' (рис. 12.3). Если в уравнениях передачи (12.4) заменить напря­жение U₁ и ток  I₁на зажимах 1— 1' на напряжение U₂` и I<sub>2</sub>`ток — в соответствии с рис. 12.3, а напряжение U₂ и ток I₂ на зажимах 2 — 2' на величины — U₁` и — I<sub>1</sub>`, то (12.4) можно переписать в виде

Сопоставляя эти уравнения с (12.4), можно сделать интересное наблюдение: в уравнениях передачи параметры А₁₁ и А₂₂ поменя­лись местами. Оказывается, этот факт справедлив не только для уравнений передачи, но и для любых других выражений, в кото­рые входят А-параметры.

5. Симметричные пассивные четырехполюсники имеют только два независимых параметра. В самом деле, в случае симметричного пассивного четырехполюсника не имеет значения направление пе­редачи энергии: напряжения и токи на входе и выходе не изме­няются при замене местами зажимов. Сравнивая уравнения пере­дачи (12.4) и (12.6), устанавливаем, что А₁₁ = А₂₂. Из табл. 12.1 находим также, что в симметричных четырехполюсниках Y₁₁ =- Y₂₂; Z₁₁= - Z₂₂ и Δ_Н = -1.

6. Параметры-коэффициенты имеют определенный физический смысл. Для выявления этого физического смысла следует четырех­полюсник поставить в такой режим работы, при котором уравнения передачи содержат лишь один интересующий нас параметр. Подоб­ное произойдет, если использовать режимы холостого хода (XX — размыкания пары зажимов) и короткого замыкания (КЗ — замы­кания накоротко пары зажимов). Так, при XX на зажимах 2 — 2' (см. рис. 12.1) ток I₂ = 0. Тогда уравнения передачи, содержащие ток I₂, например уравнения (12.3) в Z-параметрах, имеют вид:

7. Из предыдущего свойства следует, что параметры-коэффи­циенты являются комплексными величинами, так как они опреде­ляются отношением комплексных амплитуд (действующих значений) напряжений и токов. В случае анализа четырехполюсника в режиме негармонических колебаний используют спектральные представления электрических величин. Можно показать, что пара­метры-коэффициенты, рассматриваемые относительно не отдельной частоты, а определенного спектра частот, являются рациональными функциями оператора jω. При переходе от оператора jω к опера­тору р параметры-коэффициенты представляют собой рациональ­ные функции оператора р.

т. е. Z₁₁ является дробно-рациональной функцией оператора р с положительными вещественными коэффициентами. Нули этой функции  — мнимые и лежат на мнимой оси комплексной плоскости, полюс р₁ = 0. При замене оператора р оператором jω переходим к частотной характеристике

Полученные выражения Z₁₁ (p) и Z₁₁ (jω) напоминают выражение входно­го сопротивления последовательного LС-контура. Это объясняется тем, что входное сопротивление Г-образной цепи (см. рис. 12.2, б) при разомкнутых зажимах определяется последовательным соединением двухполюсников Z₁, и Z₂  (индуктивности и емкости), т. е. Z₁₁  является сопротивлением двухполюсника (ср. с (4.115)).