1.9. Принцип дуальности

 

Анализ уравнений для напряжений и токов, полученных в пре­дыдущих разделах, позволяет сформулировать важный принцип теории электрических цепей — принцип дуальности(двойственно­сти). Этот принцип гласит: если для данной электрической цепи

справедливы некоторые законы, уравнения или соотношения, то они будут справедливы и для дуальных величин в дуальной цепи. Этот принцип проявляется, например, в сходстве законов измене­ния напряжения в одной цепи и законов изменения токов в другой цепи (дуальной). Табл. 1.2 иллюстрирует двойственный характер основных законов и соотношений в электрических цепях.

 

Использование принципа дуальности в ряде случаев позволяет существенно упростить расчет. Так, если найдены уравнения для одной цепи, то используя дуальные соотношения можно сразу за­писать законы изменения дуальных величин в дуальной цепи.

 

1.10. Теорема Телледжена . Баланс мощности

 

Теорема Телледжена является одной из наиболее общих теорем теории электрических цепей. Рассмотрим граф произвольной элек­трической цепи, содержащей n_В ветвей и п_у узлов. Для со­гласованных направлений напряжений и токов ветвей теорема Телледжена гласит: сумма произведений напряжений u_k и токов i_k всех ветвей графа, удовлетворяющих законам Кирхгофа, рав­на нулю.

так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю согласно ЗТК, что и доказывает теорему. Необходимо подчеркнуть, что поскольку теорема Телледжена следует непосредственно из законов Кирхго­фа, то она справедлива для любых электрических цепей: линейных и нелинейных, активных и пассивных; цепей, параметры которых изменяются во времени {параметрических цепей). В общем случае эта теорема справедлива и для случая попарных произведений и_k и i_l разных ветвей, если для них выполняются ЗНК и ЗТК.

Из теоремы Телледжена вытекает ряд следствий, важнейшим из которых является баланс мощности. Действительно, произведение Ukik согласно формуле (1.5) представляет собой мгновенную мощ­ность p_k k-ветви, поэтому в соответствии с (1.35) алгебраическая сумма мощностей всех ветвей цепи равняется нулю. Если в (1.35) выделить ветви с независимыми источниками, то баланс мощности можно сформулировать следующим образом: алгебраическая сумма мощностей, отдаваемых независимыми источниками, равняется алгебраической сумме мощностей, потребляемых остальными ветвями электрической цепи.

Пример. Составить баланс мощности для цепи, изображенной на рис. 1.23. Алгебраическая сумма мгновенных мощностей, развиваемых источниками на-

 

 

пряжения и тока Потребляемая мощность с учетом закона Ома

В соответствии с балансом мощностей

Следует отметить, что при определении р_псТ произведение щг берется со знаком «+», если направления задающего напряжения и_Т и тока i направлены навстречу друг другу, и со знаком «—» в про­тивном случае. Аналогичное правило знаков для источников тока: если напряжение на зажимах источника направлено навстречу за­дающему току г_г, берется знак «+», а если напряжение совпадает с током — знак «—». Баланс мощности выражает не что иное, как за­кон сохранения энергии в электрической цепи.