1.3.Электрическая схема, топология электрической цепи

 

Кроме понятия электрической цепи в инженерной практике ши­рокое распространение нашел термин «электрическая схема». В теории цепей схемой называют графическое изображение элект­рической цепи. Элементам схемы соответствуют активные и пас­сивные элементы электрической цепи.

В микроэлектронике понятие электрической цепи и электронной схемы часто отождествляют между собой. Так, микросхемой (инте­гральной схемой) называют интегральную электрическую цепь, со­держащую сотни и тысячи простейших активных и пассивных эле­ментов. Чтобы не ломать сложившуюся традицию, будем использо­вать термин «электрическая схема» или просто «схема» применительно

 

к графическому изображению электрической цепи или элек­тронной схемы и термины «электрическая цепь» или «электронная (микроэлектронная, интегральная) схема» применительно к моде­лям реальных физических электрических или электронных уст­ройств.

Для анализа электрических цепей в последнее время все боль­шее распространение находят матрично-топологические методы. В их основе лежит представление электрической схемы с помощью графа цепи. Графом цепи называют геометрическую систему линий (ветвей), соединяющих заданные точки (узлы). Если ветви графа ориентированы по направлению токов ветвей, то граф называется ориентированным (направленным). На рис. 1.11, а изображена электрическая схема и ее ориентированный (рис. 1.11, б) граф. Граф содержит всю информацию о геометрической структуре схемы.

Простым узлом называют место соединения зажимов двух эле­ментов (рис. 1.12, «), а сложным — место соединения зажимов трех и более элементов (рис. 1.12, б).

Ветвью называют часть цепи, включенной между двумя узлами, через которые она обменивается энергией с остальной цепью. Ветви, подсоединенные к одной паре узлов, образуютпараллель­ное соединение (рис. 1.12, в).

Последовательно соединенные ветви, связывающие два задан­иях узла образуют простой путь, если в нем нет повторяющих Узлов. Например, между узлами 1 и 4 (рис. 1.11, б) простой путь

 

образуется ветвями 3, 5 или 3, 4 и т. д. Замкнутый путь называет­ся контуром (рис. 1.12, в).

Подграфом называют часть графа. Подграф является связным, если любые его два узла связаны, т. е. соединены ветвями.

Деревом графа называют связный подграф, содержащий все узлы, но не содержащий ни одного контура (рис. 1.13). Ветви де­рева называют ребрами (на рис. 1.13 показаны сплошными ли­ниями).

В теории графов доказывается, что число ветвей дерева, со­держащего «у узлов, определяется уравнением

Совокупность ветвей не входящих в состав дерева, образует его дополнение (на рис. 1.13 помечено штриховыми линиями). Ветви дополнения называют хордами. Можно показать, что число хорд

где п_в — общее число ветвей исходного графа.

Сечением графа называют минимальное множество ветвей, уда­ление которых разбивает граф на две несвязанных части (под­графы). На рис. 1.11, 6 показан пример двух сечений, образован­ных ветвями 1, 2, 4, 5 (по линии А—А) и 3, 6 (по линии В—В). Добавление любой из ветвей сечения делает граф связным. Обычно сечение изображают в виде замкнутой линии, рассекающей граф цепи на несвязанные компоненты. Сечение, «рассекающее» только одну ветвь дерева, называют главным сечением. Причем, каждому

дереву соответствует своя совокупность главных сечений (рис. 1.13, сечения S₁, S₂, S₃). Число главных сечений равно чис­лу ветвей дерева (1.14).

Аналитически граф можно описать с помощью структурной матрицы А_с (матрицы соединений, инциденций), представляющей собой прямоугольную таблицу с числом столбцов, равным числу ветвей, и числом строк, равным числу узлов. Если положительное направление тока в ветви l выбрать от узла k, то элементы струк­турной матрицы аи определяются из условия:

Анализ матрицы Ас: показывает, что сумма элементов каждого ее столбца равна нулю. Это является следствием зависимости од­ной из строк, поэтому ее можно исключить из А_c. Узел, строка ко­торого исключается, называют базисным, а матрица А_o, обра­зующаяся при этом, редуцированная.

Кроме матрицы Ас при анализе электрических цепей используется матрица сечений С, представляющая собой таблицу со строками, соответствующими сечениям графа и столбцами — его ветвями.  Если за положительное направление принять направление ветви внутрь области, охваченной сечением, то элементы Матрицы сечений сы определяются следующим образом:

 

 

Матрицей контуров В называют таблицу, с числом строк равным числу независимых контуров, и числом столбцов равным числу вет­вей. Элементы матрицы контуров определяются по правилу

Число независимых контуров определяется числом хорд графа , (1.15).