4.4. Параметры холостого хода и короткого замыкания четырехполюсника

 

Входное сопротивление четырехполюсника. Если к одной паре зажимов четырехполюсника, например 2 — 2', подключить произ­вольное сопротивление Z_H (рис. 12.14, а), то со стороны другой пары зажимов, т. е. 1 — 1', четырехполюсник можно рассматривать как двухполюсник с входным сопротивлением Z_BX1, которое назы­вают входным сопротивлением четырехполюсника. Следовательно,

Входное сопротивление можно выразить через параметры че­тырехполюсника. Проще всего это сделать, воспользовавшись вы­ражениями для U₁, и I₁   из уравнений передачи в А-параметрах (12.4). В этом случае

В связи с тем, что изменилось направление передачи энергии, следует воспользоваться уравнениями передачи (12.6). Тогда

Заметим, что при изменении направления передачи энергии че­рез четырехполюсник в выражениях (12.11) и (12.12) параметры  A₁₁, и A₂₂   поменялись местами (см. свойство 4, § 12.2).

Входное сопротивление четырехполюсника не является его внутренним параметром, так как оно зависит не только от свойств четырехполюсника, но и от свойств внешней цепи (нагрузки), на которую замкнута пара зажимов четырехполюсника.

Параметры холостого хода и короткого замыкания. Формулы (12.11) и (12.12) описывают входные сопротивления четырехпо­люсника при произвольных сопротивлениях нагрузки Z_Hи Z_r. Из них легко получить значения Z_BX1 и Z_BX2 при разомкнутых и замк­нутых накоротко зажимах четырехполюсника.

В режиме холостого хода на зажимах 2—2' (выходные зажимы разомкнуты) входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 1 — 1' обозначается Z_xx1 и определяется из формулы (12.11) при Z_H = ∞:

Величины  называются параметрами хо­лостого хода и короткого замыкания. Значения этих параметров для любой данной частоты могут быть измерены с помощью специ­ального прибора для измерения комплексных сопротивлений — моста переменного тока. Это особенно удобно, когда четырехпо­люсник представляется в виде «черного ящика» и нет возможности узнать его содержимое или рассчитать какие-либо другие системы параметров, либо когда влияние паразитных элементов четырехпо­люсника трудно учесть аналитически. Измерение же других систем параметров часто представляет значительную сложность.

Из приведенных выше соотношений для параметров XX и КЗ легко получить, что  т.е. только три параметра из четырех являются независимыми. Этих параметров доста­точно для составления уравнений передачи пассивного четырехпо­люсника, причем из параметров XX и КЗ может быть получена любая система параметров-коэффициентов.

У активного четырехполюсника все четыре параметра незави­симы, поэтому их нельзя найти по параметрам XX и КЗ.

В случае симметричного пассивного четырехполюсника пара­метры  симметричный четырехполюсник характеризуется только двумя параметрами XX и КЗ.

 

4.5. Характеристические параметры четырехполюсника

 

Согласованное включение четырехполюсника. При передаче сигналов на расстояние может участвовать большое число каскадно соединенных четырехполюсников. На практике используется такое включение четырехполюсников, которое получило название согласованного. Если рассматривать четырехполюсник, включен­ный по схеме рис. 12.1, то это означает, что должны выполняться два условия:  т. е. входное сопротивление че­тырехполюсника должно быть согласовано с сопротивлением гене­ратора, а выходное — с сопротивлением нагрузки.

В случае каскадного включения нескольких четырехполюсников обеспечивают согласованное включение каждого из них.

Режим согласованного включения является наиболее благо­приятным при передаче сигналов, поскольку при этом отсутствуют отражения электрической энергии (а значит, ее рассеяние) на сты­ках «генератор —четырехполюсник» и «четырехполюсник —на­грузка» и искажение сигнала.

Характеристические сопротивления четырехполюсника. Оста­ется не ясным, всегда ли можно включить четырехполюсник согла­сованно, т. е. всегда ли можно подобрать такие сопротивления Z_r и Z_H, при которых

Оказывается, для любого четырехполюсника всегда существует такая пара сопротивлений, для которой выполняется условие (12.16). Эти сопротивления называютсяхарактеристическими (собственными) сопротивлениями четырехполюсника и обознача­ются Z_c1 и Z_с2. Индекс «1» указывает на то, что характеристиче­ское сопротивление определяется со стороны зажимов 1 — 1', а ин­декс «2» — со стороны зажимов 2—2'.

Таким образом, если в качестве внутреннего сопротивления ге­нератора выбрать  качестве сопротивления нагрузки  Рисунок 12.15 ил­люстрирует это свойство характеристических сопротивлений.

Можно теперь уточнить определение режима согласованного включения. Режимом согласованного включения четырехполюс­ника называется такой режим его работы, когда внутреннее сопро­тивление генератора выбрано равным характеристическому сопро­тивлению четырехполюсника Z_c1, а сопротивление нагрузки рав­ным характеристическому сопротивлению Z_C2.

Совместное решение этих уравнений относительно величин Z_с1, и Z_с2   дает выражение характеристических сопротивлений через А-параметры:

Характеристическое сопротивление можно выразить через па­раметры XX и КЗ. Проще всего это получить из (12.17), если вос­пользоваться формулами (12.13) — (12.15), где параметры XXи КЗ выражены через А-параметры:

Последние формулы удобны для экспериментального определения характеристических сопротивлений методами XX и КЗ.

Пример. Дан резистивный Г- образный четырехполюсник (см. рис. 12.2, б) с элементами Z₁ = 1600 Ом, Z₂ =900 Ом. Включим его согласованно с генера­тором и нагрузкой. Для согласования четырехполюсника с генератором нужно выбрать его внутреннее сопротивление равным характеристическому сопротивлению

четырехполюсника со стороны зажимов 1 —1', т. е. Z_r = Z_c1. Чтобы согласовать четырехполюсник с нагрузкой, следует подключить к его зажимам 2—2' сопротивление нагрузки Z_H = Z_C2.

Матрица А четырехполюсника имеет вид

Характеристическая постоянная передачи четырехполюсника.

При согласованном включении на стыках «генератор —четырехпо­люсник» и «четырехполюсник —нагрузка» рассеяние электрической энергии будет происходить только в четырехполюснике (например, она будет превращаться в тепловую энергию на резистивных эле­ментах схемы).

Чтобы учесть эти потери, вводят меру передачи энергии — ха­рактеристическую (собственную) постоянную передачи четы­рехполюсника, определяемую через отношение произведения на­пряжения и тока на входе четырехполюсника к произведению на­пряжения и тока на его выходе, взятое-в логарифмическом масштабе

где S₁ и S₂ — полные мощности на входе и выходе четырехполюс­ника при согласованном его включении, называется характери­стическим (собственным) ослаблением четырехполюсника. Она показывает в логарифмическом масштабе, на сколько уменьшилась мощность на выходе четырехполюсника по сравнению с мощностью на его входе при передаче энергии через четырехполюсник в режи­ме согласованного включения.

Для симметричного четырехполюсника из (12.21) получаем

Бел достаточно крупная единица измерения. Вместо нее обычно применяют в 10 раз меньшую единицу — децибел (сокращенно дБ). Поскольку 1 Б = 10 дБ, то

Пример. Несимметричный и симметричный четырехполюсники включены согласованно. Мощность на выходе первого из них уменьшается по сравнению с мощностью на входе в 1000 раз, на выходе второго по сравнению с его вхо­дом — в 10 000 раз. Определим характеристические (собственные) ослабления четырехполюсников.

Характеристическое ослабление по мощности для несимметричного четы­рехполюсника согласно формуле (12.25) составляет Ас = 10 lg 1000 = 30 дБ, а для симметричного - А_с = 10 lg 10 000 = 40 дБ. Кроме того, для симметрич­ного четырехполюсника можно указать характеристическое ослабление по на­пряжению и току. В соответствии с (12.25) оно равно 20 lg 10 000 = 80 дБ.

Второе слагаемое в формуле (12.24)

учитывает изменение начальных фаз напряжений и токов при пе­редаче энергии через согласованно включенный четырехполюсник и носит название характеристической (собственной) фазыили фазовой постоянной четырехполюсника.

Преобразование (12.21) для симметричного четырехполюсника приводит к характеристической (собственной) фазовой постоянной, равной разности фаз входного и выходного напряжений или токов:

Измеряется фазовая постоянная в радианах (сокращенно рад) или градусах (сокращенно град).

Величины Zc₁, Zc₂ и Г_с образуют систему характеристических {собственных) параметров четырехполюсника. Она полностью описывает пассивный четырехполюсник.

Связь с другими системами параметров. Вычисление характе­ристических параметров по А-параметрам осуществляется с по­мощью формул (12.17), (12.22), а по параметрам XX и КЗ — с по­мощью формул (12.18) и (12.23). Установим обратные соот­ношения, т. е. выразим А-параметры и параметры XX и КЗ через характеристическое.

Из (12.22) следует:

 

Заметим, что из этих формул легко выводится формула (12.23), приведенная ранее без вывода.

Расчет каскадного согласованного соединения четырехполюс­ников. При расчете каскадного соединения четырехполюсников ранее был использован матричный метод, в котором матрица А ре­зультирующего четырехполюсника определялась произведением матриц А составляющих четырехполюсников. Если четырехполюс­ники соединены согласованно, то удобнее пользоваться характери­стическими параметрами.

На рис. 12.17 показано каскадное согласованное включение трех четырехполюсников с характеристическими постоянными пе­редачи Г_с1, Г_С2 и Гс_З.

Согласование четырехполюсников состоит в том, что харак­теристические сопротивления со стороны их соединения выбра­ны равными друг другу, а внутреннее сопротивление генерато­ра и сопротивление нагрузки — равными характеристическим сопротивлениям крайних четырехполюсников. Действительно, крайний справа четырехполюсник нагружен на сопротивление, равное его характеристическому Z_с4, значит, входное сопротив­ление этого крайнего четырехполюсника будет равно характе­ристическому сопротивлению Zc₃ предшествующего четырехпо­люсника. В свою очередь, входное сопротивление среднего че­тырехполюсника оказывается равным характеристическому со­противлению Zc₂ крайнего левого четырехполюсника. Следова­тельно, входное сопротивление крайнего слева четырехполюс­ника равно Zc₁и согласовано с внутренним сопротивлением ге­нератора.

Аналогичным образом можно провести рассуждения, начиная с левого четырехполюсника.

На рис. 12.17 во избежание путаницы входные сопротивления четырехполюсников со стороны зажимов 2—2' названы выходны­ми сопротивлениями четырехполюсников. Определим характери­стическую постоянную передачи результирующего четырехполюс­ника. Согласно (12.20)

Таким образом, результирующий четырехполюсник, составлен­ный из каскадно и согласованно соединенных отдельных четырех­полюсников, имеет характеристические сопротивления, равные ха­рактеристическим сопротивлениям крайних четырехполюсников, и оказывается включенным согласованно с генератором и нагрузкой. Его характеристическая постоянная передачи равна сумме характе­ристических постоянных передачи соединяемых четырехполюсни­ков. Учитывая, что Г_с = А_с + jВ_с, можно записать: