1.7. Теорема замещения

 

При обосновании некоторых методов анализа электрических це­пей используется теорема замещения, которую можно сформу­лировать следующим образом: значение всех токов и напряжений в цепи не изменится, если любую ветвь цепи с напряжением и и током i (рис. 1.19, а) заменить источником напряжения с задающим напряжением u_Г— и (рис. 1.19, 6) или источником тока с задающим током i_г (рис. 1.19, в).

 

Докажем эту теорему на примере источника напряжения (рис. 1.19, б). Для этого включим в ветвь с R (рис. 1.19, а) два источника напряжения с задающим напряжением и направленные навстречу друг другу (рис. 1.19, г).

Приняв потенциал узла Vo ⁼ 0,найдем потенциалы узлов Vз> V₂,V₁:

V₃ = Ri, V₂ = V₃-u₂ = Ri-Ri = 0; V_x = V₂ + u₁ = Ri.

Таким образом, потенциал узла I в схеме рис. 1.19, а и в схеме рис. 1.19, г оказывается одинаковым. А так как V₂ = 0 и Vo = 0, то закорачивая их между собой, приходим к схеме рис. 1.19, б, что и доказывает теорему. Аналогично доказывается и теорема заме­щения источником тока (рис. 1.19, в).

Теорема замещения справедлива как по отношению к линейным, так и нелинейным цепям, так как при ее доказательстве не накла­дывается на выделенную ветвь никаких ограничений, кроме того, что она обменивается энергией с остальной частью цепи только че­рез зажимы 1—0 с помощью тока i.

 

1.8. Теорема об активном двухполюснике

 

Теорема об активном двухполюснике используется обычно в слу­чае, когда надо найти реакцию цепи (ток или напряжение) в одной ветви. При этом удобно всю остальную часть цепи, к которой под­ключена данная ветвь, рассматривать в виде двухполюсника (на рис. 1.20, а) показана резистивная ветвь). Двухполюсник называют активным, если он содержит источники электрической энергии, и пассивным — в противном случае. На рисунках активный двухпо­люсник будем обозначать буквой А, а пассивный — П. Более подроб­но определение и общая теория двухполюсников излагается в гл. 4.

Различают две модификации теоремы об активном двухполюс­нике: теорема об эквивалентном источнике напряжения (теорема Тевенина) и теорема об эквивалентном источнике тока (теорема Нортона).

Теорема об эквивалентном источнике напряжения. Согласно теореме Тевенина ток в любой ветви линейной электрической це­ни не изменится, если активный двухполюсник, к которому под­ключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником (генератором) напряжения с задающим напряжением, равным напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви и внутренним сопротивлением, равным эквивалентному входному сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны разомк­нутой ветви (рис. 1.20, б).

Для доказательства этой теоремы предположим, что цепь не со­держит зависимых источников. Тогда, разомкнув ветвь с элементом R, определим расчетным или экспериментальным путем напряже­ние холостого хода u_хх (рис. 1.21, а). Затем включим в эту ветвь навстречу друг другу два источника напряжения с задающим на­пряжением u_Г = м_Хх (рис. 1.21, б). Ток в ветви с Rпри этом (рис. 1.21, б) не изменится по сравнению с током i в исходной схеме (рис. 1.20, а). Результирующий ток в выделенной ветви най­дем в соответствии с принципом наложения: i = i_А +i₁+ i₂, где i_А — частичный ток, обусловленный активным двухполюсником; i₁ — ток, обусловленный действием источника u_Г1 ;1₂ — ток, обусловленный действием источника и_Г2. Однако напряжение ак­тивного двухполюсника и задающее u_Г2 действует навстречу друг другу, поэтому i_А +  i₂= 0.Следовательно, ток в цепи i = i₁ будет обусловлен только действием источника с u_Г1=u_Хх (см. рис. 1.20, б). Частичный ток i₁ может быть найден, если положить все задающие напряжения и токи активного двухполюсника рав­ными нулю. Получившийся при этом пассивный двухполюсник полностью характеризуется своим эквивалентным сопротивлением R_э = R_Г относительно выделенных зажимов. Таким образом, при­ходим к схеме, изображенной на рис. 1.20, б и теорема доказана.

Теорема об эквивалентном источнике тока (теорема Нортона): ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока с задающим током, равным току короткого замыкания этой ветви, и внут­ренней проводимостью, равной эквивалентной входной проводи­мости со стороны разомкнутой ветви (см. рис. 1.20, в).

Доказательство этой теоремы проще всего осуществить путем преобразования эквивалентного источника напряжения (см. рис. 1.20, б) в эквивалентный источник тока (рис. 1.20, в) с пара­метрами,

где i_Кз — ток короткого замыкания рассматриваемой ветви.

Из (1.33) следует формула, которую можно положить в основу экспериментального определения параметров пассивного двухпо­люсника:

Теорема об активном двухполюснике существенно упрощает расчет сложной цепи, так как позволяет ее представить в виде про­стейшей схемы эквивалентного источника напряжения или тока с конечным внутренним сопротивлением R_Г или внутренней прово­димостью G_Г. В отличие от идеальных источников напряжения и тока (см. § 1.2) напряжение и ток этих источников зависят от со­противления R ветви.

Теорема об активном двухполюснике справедлива и для случая, когда последний содержит зависимые источники с ограниченными задающими напряжениями и токами. При этом при нахождении параметров эквивалентного генератора следует положить равными нулю задающие напряжения и токи лишь независимых источников.