1.4. Законы Кирхгофа

 

В теории цепей различают два типа задач: задачи анализа и синтеза электрических цепей. К задаче анализа относятся все за­дачи, связанные с определением токов, напряжений или мощностей в элементах цепи, конфигурация и параметры которой известны. В задачах синтеза, напротив — известны токи и напряжения в от­дельных элементах и требуется определить вид цепи и ее па­раметры, т. е. синтез является обратной задачей по отношению к анализу. Следует отметить, что задача синтеза существенно слож­нее задачи анализа и будет рассмотрена в гл. 16.

В основе методов анализа электрических цепей лежат законы Кирхгофа.

Первый закон - закон токов Кирхгофа (ЗТК) формулируется по отношению к узлам электрической цепи и отражает тот факт, что в узлах не могут накапливаться заряды. Он гласит:алгебраи­ческая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле электри­ческой цепи, равна нулю. Формально это записывается так:

где т -число ветвей, сходящихся в узле.

В уравнении (1.16) токи, одинаково ориентированные относи­тельно узла, имеют одинаковые знаки. Условимся знаки выходя­щих токов считать положительными, а входящих - отрицательны­ми .Тогда,    например,   для   узла    1   схемы,    изображенной на рис. 1.11, a, согласно ЗТК — i₁ + i₁ + iз = 0. Число независимых уравнений, составляемых по ЗТК, равно числу независимых узлов электрической цепи и определяется уравнением (1.14).

Закон токов справедлив и по отношению к сечениям электри­ческой цепи. Покажем это на примере сечения Sз (рис. 1.13, а). Запишем ЗТК для узлов 1 и 2:

для узла 1: — i₁ + i₂+ iз ⁼ 0;

для узла 2: — iз + i₄ + i₅ = 0.

Сложив между собой эти уравнения, получим ЗТК для сечения 5з:

— i₁ + i₂ + i₄ + i₅ =0.

Второй закон — закон напряжений Кирхгофа (ЗНК) формули­руется по отношению к контурам и гласит: алгебраическая сумма напряжений ветвей в любом контуре равна нулю:

где п - число ветвей, входящих в контур.

В уравнении (1.17) напряжения, совпадающие с направлением обхода контура, записываются со знаком «+», а не совпадающие — со знаком «—».

Составим, например, уравнение по ЗНК для цепи, изображен­ной на рис. 1.11, а. В соответствии с направлением для контура I:

Общее число линейно-независимых уравнений, составляемых по ЗНК, определяется числом независимых контуров, равных числу хорд (см. (1.15)).

Уравнение ЗТК и ЗНК можно записать в матричной форме, ис­пользуя редуцированную структурную матрицу Ао и контурную матрицу В.

Закон токов получается путем перемножения матрицы Ао на матрицу-столбец токов ветвей:

 

L.5. Принцип эквивалентности. Преобразования электрических схем

 

В основе различных методов преобразования электрических схем лежит принцип эквивалентности, согласно которому напря­жения и токи в ветвях схемы, не затронутых преобразованием, ос­таются неизменными. Преобразования электрических схем при­меняются для упрощения расчетов. Рассмотрим наиболее типичные преобразования, основанные на принципе эквивалентности.

Последовательное соединение элементов. Согласно ЗТК при последовательном соединении элементов через них протекает один и тот же ток (рис. 1.14). Согласно ЗНК напряжение, приложенное ко всей цепи,

Таким образом, цепь из п последовательно соединенных резистивных, индуктивных или емкостных элементов может быть заме­нена одним эквивалентным резистивным, индуктивным или ем­костным элементом с параметрами, определяемыми формулами (1.22) —(1.24). Причем, при нахождении эквивалентного сопротив­ления или эквивалентной индуктивности необходимо суммировать сопротивления и индуктивности отдельных резистивных и индук­тивных элементов, а для нахождения эквивалентной обратной ем­кости — суммировать величины, обратные емкости отдельных ем­костных элементов. В частности, при п = 2

C = C₁C₂/(C₁ + C₂).                             (1.25)

При последовательном соединении независимых источников на­пряжения они заменяются одним эквивалентным источником на­пряжения с задающим напряжением м_г, равным алгебраической сумме задающих напряжений отдельных источников. Причем со знаком «+» берутся задающие напряжения, совпадающие с за­дающим напряжением эквивалентного источника, а со знаком «—» — несовпадающие (рис. 1.15).

Параллельное соединение элементов. При параллельном соеди­нении элементов согласно ЗНК к ним будет приложено одно и то же напряжение (рис. 1.16). Согласно ЗТК для тока каждой из схем, изображенных на рис. 1.16, можно записать

На основании этого,  уравнения с учетом формул (1.6),  (1.9) и (1.12) получаем:

для параллельного соединения резистивных элементов

Следовательно, цепь из п параллельно соединенных резистив­ных, индуктивных или емкостных элементов можно заменить од­ним эквивалентным резистивным, индуктивным или емкостным элементом с параметрами, определяемыми формулами (1.27) — (1.29).

Таким образом, при параллельном соединении резистивных, ем­костных и индуктивных элементов для нахождения эквивалентных проводимостей и емкости цепи проводимости или емкости от­дельных элементов складываются. Эквивалентная обратная ин­дуктивность цепи находится суммированием обратных индуктивностей отдельных индуктивных элементов. В частности, при п = 2

Параллельно соединенные независимые источники тока можно заменить одним эквивалентным источником тока с задающим то­ком, равным алгебраической сумме задающих токов отдельных ис­точников. Причем со знаком «+» берутся задающие токи, со­впадающие по направлению с задающим током эквивалентного ис­точника, а со знаком «—» — не совпадающие (рис. 1.17).

При расчете электрических цепей часто возникает необходи­мость преобразования источника напряжения с параметрами и_Г и R_Г (см. рис. 1.5, д) в эквивалентный источник

тока с параметрами i_г и G_r (см. рис. 1.5, е), или наоборот — преобразование источника тока в эквивалентный источник напряжения. Эти преобразования осуществляются в соответствии с формулами

 которые  могут  быть  получены  из   ЗНК  и   ЗТК для  схемы  на рис. 1.5, д, е и принципа эквивалентности.