Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Среднесуточная продажа хлеба в течение многих лет для данного магазина составляла 6 т при среднем квадратичном отклонении 0,05 т. Сегодня магазином было продано 7 т хлеба. Можно ли при 5%-м уровне значимости предполагать, что и завтра будет продано 7 т хлеба?

Задача 2. Акционерное общество выпускает печенье «Русские узоры» в пачках, на которых написано: масса нетто 200 г. Осуществлена выборка для оценки средней массы печенья в пачках, выпущенных московской и санкт-петербургской фабриками АО. Результаты выборок таковы (указана масса пачек печенья «Русские узоры»):

Московская фабрика

201, 195, 197, 199, 202, 198, 199, 203, 195,

196, 198, 199, 194, 203, 195, 202, 197

Санкт-петербургская фабрика

203, 207, 191, 193, 197, 201,

196, 192, 194, 195, 198, 196.

Предполагая, что случайная величина массы пачки печенья распределена по нормальному закону с одинаковыми дисперсиями, и считая выборки независимыми, определить:

а) средние выборочные и «исправленные» средние квадратичные отклонения массы для каждой фабрики;

б) для значимо или нет различие между средними выборочными (если это различие имеется);

в) является ли величина 200 г математическим ожиданием массы при 5%-м уровне значимости?

Задача 3. Расход сырья на единицу продукции составил:

по старой технологии

Расход сырья	xi	305	307	308
Число изделий	mi	1	4	4

по новой технологии

Расход сырья	xi	303	304	305	308
Число изделий	mi	2	6	4	1

Предположив, что соответствующие случайные величины X и Y имеют нормальные распределения с математическими ожиданиями a_x и a_y и одинаковыми дисперсиями, проверить:

а) при уровне значимости 0,01 гипотезу при альтернативной;

б) при уровне значимости 0,05 гипотезу при альтернативной.

Задача 4. Компания, занимающаяся междугородными пассажирскими перевозками, решила закупить партию новых автобусов. Приобретение новых автобусов принесет компании существенную выгоду лишь в том случае, если расход топлива на 100 км трассы на новых автобусах не превысит 19,5 литра. Компания-продавец предоставила покупателю ав­тобус на 4 недели (24 рабочих дня) для проверки реального расхода топ­лива. Результаты ежедневных прогонов показали, что средний расход топлива на 100 км пути составил 19,925 литра при исправленном среднем квадратическом отклонении 1,6 л. Посоветуете ли Вы автотранспортной компании покупать новые автобусы? (Оцените гипотезу на уровне значи­мости ).

Задача 5. Дисперсия генеральной совокупности . Выборка 25 единиц из этой совокупности дала среднюю арифметическую, равную 17. Можем мы отклонить? при конкурирующей гипотезе ? Принять ?

Задача 6. Производители нового вида аспирина утверждают, что он снимает головную боль за 30 минут. Случайная выборка 121 человека, страдающих головными болями, показала, что новый тип аспирина сни­мает головную боль за 28,6 минут при среднем квадратическом отклоне­нии 4,2 минуты. Проверьте на уровне значимости, справедли­вость утверждения производителей аспирина о том, что это лекарство излечивает головную боль за 30 минут.

Задача 7. Инженер по контролю качества проверяет среднее время горения нового вида электроламп. Для проверки в порядке случайной выборки было отобрано 100 ламп, среднее время горения которых оказа­лось 1075 часов. Предположим, что среднее крадратическое отклонение времени горения для генеральной совокупности известно и равно 100 час. Используя уровень значимости , проверьте гипотезу о том, что время горения ламп более 1000 часов.

Задача 8. Исходя из условия задачи 7, предположим, что инженер по контролю качества не имеет информации о генеральной дисперсии и ис­пользует выборочное среднее квадратическое отклонение, равное 100 час. Объем выборки n = 121.

Задача 9. Исходя из условия задачи 7, предположим, что инженеру по контролю качества неизвестна генеральная дисперсия, и он пользует­ся данными выборки только 25 ламп. Изменится ли ответ задачи? Объясните.

Задача 10. Длительное время автоматическая линия по фасовке пакетов с солью обеспечивала нормальное распределение веса фасуемых пакетов со средним весом 1000 граммов и стандартным отклонением  грамма. Перед плановым профилактическим ремонтом для выяснения возможных нарушений в настройке линии была проведена выборка 36 пакетов, средний вес которых оказался равным 1003 граммам. Имеется ли какое-либо основание предполагать, что произошли сбои в настройке автоматической линии и наблюдается устойчивый перерасход сырья? Уровень значимости принять равным 0,01.

Задача 11. Пассажир самолета может взять с собой в салон ручную кладь, не превышающую 5 кг веса. Однако по наблюдениям сотрудников авиаком­паний, многие пассажиры, не желая тратить время на ожидание багажа в аэропорту прибытия, стремятся пронести весь свой багаж в салон самолета. Это невыгодно для компаний, так как багажные отсеки остаются пустыми, и миллионы рублей расходуются на перевозку «воздуха», кроме того, хранение багажа в салоне ведет к нарушению его балансировки, а значит, угрожает безопасности полета. Одна из авиакомпаний решила проверить вес багажа, проносимого в кабину самолета, но, прежде чем привлекать дополнительных служащих к контролю проверки багажа, провела исследование с целью про­верки обоснованности своих предположений. Случайным образом был прове­рен багаж 121 пассажира различных рейсов и выяснено, что средний вес их багажа составил 5,8 кг со стандартным отклонением  кг. Является ли такое отклонение веса ручной клади случайным и, следовательно, допусти­мым, или имеет место тенденция лишнего веса? Проверьте гипотезу при уровне значимости, равном .

Задача 12. Транспортное пассажирское управление хочет убедиться в необходимости изменения частоты движения автобусов на определенных маршрутах: увеличить ее, уменьшить или оставить прежней. Установле­но, что если среднее число километров, проезжаемое каждым пассажи­ром на интересующих управление маршрутах за день равно 10, то необ­ходимости изменять частоту маршрута нет. Если же это число больше или меньше 10, то необходимо увеличить или уменьшить количество автобусов на маршрутах. Проверьте нуль-гипотезу о том, что среднее число километров, проезжаемых каждым пассажиром на интересующих управление маршрутах, равно 10 км при альтернативной гипотезе о том, что среднее их число не равно 10 км. Требуемый уровень значимости для проверки этой гипотезы принять .

Случайная выборка 121 жителя района, пользующегося данными маршрутами, показала, что среднее число километров, которое каждый из них проезжает в день, составляет 6,3 км с выборочным средним квадратическим отклонением 3,2 км. Посоветуйте, какие меры должно предпринять пассажирское управление? Объясните Ваши рекомендации.

Задача 13. Известно, что туристы, посещающие Санкт - Петербург, останавливаются в гостинице в среднем на 3,4 дня. Аналитик, занимаю­щийся проблемами туризма, хочет проверить, как события последних лет повлияли на эту цифру. Он случайно выбрал 27 дней, проведенных тури­стами в различных гостиницах Санкт - Петербурга, и получил следующие данные: 5, 4, 3, 2, 1, 1, 5, 7, 8, 4, 3, 2, 5, 7, 1, 3, 1, 1, 5, 3, 4, 2, 2, 2, 6, 1, 7. Проверьте гипотезу на уровне значимости о том, что события последних лет никак не отразились на посещаемости гостиниц туристами Санкт - Петербурга.

Задача 14. Ежедневная заработная плата в определенной отрасли есть случайная величина, распределенная по нормальному закону, со средней 13,2 и . Если компания в этой отрасли нанимает 40 рабочих и платит им в среднем 12,2, может ли эта компания быть обвиненной в том, что она платит слишком низкую зарплату? Уровень значимости принять равным .

Задача 15. Сберегательный банк, находящийся в сельской местности в течение прошедшего года проводил в среднем ежедневно 300 трансакций. Случайная выборка за 20 дней в течение текущего года определила среднюю выборочную, равную 307,3 трансакции со стандартным отклонением в 24,9 трансакции. Используя уровень значимости , определите, отличается ли генеральная средняя по трансакциям за текущей год от значения средней предыдущего года.

Задача 16. Независимые выборки из двух нормально распределенных совокупностей с одинаковым средним квадратическим отклонением дали результаты, показанные в следующей таблице:

Выборка	n	Среднее	Среднее квадратическое отклонение
1	13	22	9
2	9	25	7

Можно ли сделать заключение, что разница между двумя генеральными средними меньше 3? Проверьте гипотезу на уровне значимости .

Задача 17. Реклама фотоаппарата, производимого известной фирмой, утверждает, что тестирование камер менее известных фирм показало, что 60% из них имеют некоторые изъяны. Для проверки этого утверждения была проведена случайная выборка 30 фотокамер, при проверке которых в 15 бы­ли найдены изъяны. Проверьте гипотезу, используя .

Задача 18. Компания, выпускающая в продажу новый сорт растворимого кофе, провела проверку вкусов покупателей по случайной выборке из 400 человек и выяснила, что 220 из них предпочли новый сорт всем остальным. Проверьте на уровне значимости гипотезу о том, что, по крайней мере 52% потребителей предпочитает новый сорт кофе.

Задача 19. Служба занятости города А решила выяснить, является ли опыт работы на компьютере важным фактором для получения работы. Руководитель службы занятости организовал в компьютерном банке дан­ных случайный отбор 600 вакансий и нашел, что для 313 из них требует­ся умение работать на компьютере. На основании полученных данных можем ли мы поддержать гипотезу о том, что половина рабочих мест на рынке труда предусматривает опыт работы на компьютере? Принять уро­вень значимости .

Задача 20.

41. Страховая компания изучает вероятность дорожных происшествий для подростков, имеющих мотоциклы. За прошлый год проведена случайная выборка 2000 страховых полисов подростков-мотоциклистов и выявлено, что 15 из них попадали в дорожные происшествия и предъявили компании требование о компенсации за ущерб. Может ли аналитик компании отклонить гипотезу о том, что менее чем один процент всех подростков-мотоциклистов, имеющих страховые полюсы, попадали в дорожные происшествия в прошлом году? Принять уровень значимости .

Задача 21. В гарантийном свидетельстве производителем телевизора определенной марки утверждается, что не более 10% телевизоров нуждались в ремонте в течение первых двух лет эксплуатации (исходя из опыта прошлых лет). С целью проверки достоверности этого утверждения обществом защиты прав потребителей была организована случайная выборка 100 покупателей телевизоров, которая обнаружила, что 14 них ремонтировали купленные телевизоры данной марки в течение первых двух лет эксплуатации. На 1%-ном уровне проверьте, является утверждение производителя верным.

Задача 22. Новое лекарство, изобретенное для лечения атеросклероза, должно пройти экспериментальную проверку для выяснения возможных побочных эффектов. В ходе эксперимента лекарство принимали 4000 мужчин и 5000 женщин. Результаты выявили, что 60 мужчин и 100 женщин испытывали побочные эффекты при приеме нового медикамента. Можем ли мы на основании эксперимента утверждать, что побочные эффекты нового лекарства в большей степени проявляются на женщинах чем на мужчинах? Принять уровень значимости .

Задача 23. Профессор, преподающий политологию, полагает, что сту­денты гуманитарных факультетов университета более активно участвуют в выборах, нежели студенты естественных факультетов. Для проверки своего предположения он организовал две случайные выборки студентов и получил следующие результаты:

Факультеты	Доля голосующих	Число студентов
Гуманитарные	0,65	120
Естественные	0,62	113

Проверьте гипотезу профессора, используя уровень значимости .

Задача 24.

49. Компания по производству детского консерви-рованного питания имеет два завода, один из которых построен недавно. Отдел контроля качества продукции желает проверить, в действительности ли доля бракованной продукции на новом заводе существенно отличается от доли на старом заводе. Детское питание упаковывается в картонные ко­робки, содержащие по 24 банки. На проверку случайно взяты две партии консервов по 500 коробок в каждой. Таблица представляет выборочные данные, полученные по каждому заводу.

Завод	Доля бракованной продукции в партии	Объем выборки
Старый		n1 = 50
Новый		n2 = 40

Проверьте выдвинутую гипотезу на уровне значимости .

Задача 25. Записи в историях болезней большого госпиталя показали, что 52 мужчины в выборке из 1000 мужчин и 23 женщины в выборке из 1000 женщин поступили в госпиталь с обширным инфарктом. Дают ли приведенные данные достаточно оснований для утверждения о том, что доля пораженных инфарктом среди мужчин существенно выше, чем сре­ди женщин.

Задача 26.

69. Руководство большого универсама решило упорядочить очередь к кассам и проверить, является ли вариация времени ожидания в очереди к кассам одинаковой. С этой целью были организованы две не­зависимые выборки по 12 наблюдений времени ожидания в очереди к двум кассам. Результаты эксперимента дали следующие результаты:  мин.,  мин. Проверьте гипотезу на уровне значимости .

Задача 27. Дано следующее распределение успеваемости 125 студентов, сдавших три экзамена:

Число сданных экзаменов 0 1 2 3

Число студентов 3 5 47 70

Проверить гипотезу о биномиальном распределении числа сданных экзаменов при .

Задача 28.

54. Из всех студентов-юношей университета случайным образом осуществлены две выборки объемом и человек. Первая выборка организована среди студентов 1-го курса, а вторая - среди студентов 2-го курса. Измерялся рост студентов, а результаты отклонений измеренного роста от их среднего роста приведены в таблице:

Интервалы измере­ния (в см)	Частоты
	выборка 1	выборка 2
(– 15; –10)	10	–
(–10; –5)	27	7
(– 5; 0)	43	17
(0; 5)	38	30
(5; 10)	23	29
(10; 15)	8	15
(15; 20)	1	1
(20; 25)	–	1

Требуется с помощью критерия Колмогорова-Смирнова проверить нулевую гипотезу о том, что распределение отклонений роста студентов от среднего описывается одной и той же функцией распределения. Уро­вень значимости принять .

Задача 29.

57. С целью оценки среднего времени транзита грузов из сто­лицы в северные регионы страны автотранспортная компания осуществи­ла случайную выборку 200 партий товаров. Результаты представлены таблицей:

Интервалы измере­ния (в днях)	3,65 – 3,85	3,85 – 4,05	4,05 – 4,25	4,25 – 4,45
mi (число партий)	23	119	53	5

Проверьте с помощью критерия согласия Пирсона и критерия λ Колмогорова гипотезу о нормальном законе распределения среднего времени транзита грузов. Уровень значимости принять .

Задача 30.

57. В результате проверки 300 контейнеров со стеклянными ста­канами установлено, что число поврежденных стаканов X имеет следую­щее эмпирическое распределение (в первой строке указано количество поврежденных стаканов в одном контейнере; во второй строке – частота , т.е. число контейнеров, содержащих поврежденных изделий):

	0	1	2	3	4	5
	50	100	80	40	20	10

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X – число поврежденных стаканов распределена по закону Пуассона.

Задача 31. Регистрировалось число сделок (X) на фондовой бирже за квартал п = 25 (инвесторов). Результаты представлены в таблице:

xi	mi
0 1 2 3 4 5	3 6 8 5 2 1

Подберите закон распределения числа сделок. Найдите точечные оценки его параметров и проверьте, согласуются ли данные с подобранным за­коном распределения.

Задача 32.

71. В таблице приведены данные о месячном доходе 100 жите­лей региона (в тыс. руб.)

Интервалы	Частоты mi
8 – 10 10 – 12 12 – 14 14 – 16 16 – 18 18 – 20	6 16 54 14 8 2
Сумма	n =  Σ mi = 100

Проверьте, используя критерий согласия хи-квадрат и критерий Колмогоро­ва, гипотезу о том, что данные о месячном доходе жителей подчиняются нормальному закону распределения.

Задача 33. Имеются две выборки значений (в усл. ед.) объемов 125 и 80 показателей качества однотипной продукции, изготовленной двумя фирмами:

	14	17	20	23	26	29	32	35	38	41
	2	4	10	15	20	27	18	16	8	5

	16	20	24	28	32	36	40	44
	3	9	12	17	16	13	7	3

Выяснить, можно ли на уровне значимости 0,05 считать, что рассматриваемый показатель качества двух фирм описывается одной и той же функцией распределения (т.е. выборки извлечены из одной генеральной совокупности). Решить задачу, используя критерии: а) Колмогорова – Смирнова; б) Вилкоксона – Манна – Уитни.