Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Mat_analiz.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
16.12.2018
Размер:
140.8 Кб
Скачать
  1. Понятие дифф. Уравнения.

Уравнение в котором в качестве неиз-й величины выступает та или иная ф-я наз-я функциональным уравнением. Пример: f(x1)f(x2)=f(x1+x2)

Дифф уравнением наз-я уравнение относительно неизвестной функции ее производных различных порядков и независимых переменных. Пример: y*y’’’+sinx=0 y=y(x)

Если в дифф уравнении в качестве неиз-й ф-и выступает ф-я одной переменной то такие уравнения наз-я обыкновенными дифф ур-и, если же в качестве переменных выст-т ф-я нескольких переменных то такие ур-я наз-я дифф ур-и в частных производных. Порядком дифф уравнения наз-я наивысший из порядков производных входящих в данное дифф уравнение. Ф-я y=y(x) наз-я решением дифф уравнения F(x,y,y’,y’’,…,y(n))=0 (*) на некотором числовом промежутке если вып-я след-е условия: 1)y=y(x) n раз дифф на промежутке дельта 2)будучи подставленной в ур-е (*) ф-я y=y(x) обращает его в верное равенство на дельта. Процесс отыскания решений дифф уравнений наз-я интегрирование дифф уравнения, а графики решений дифф ур-я нгаз-я интегральными кривыми

2)Дифф уравнение первого порядка. Задача Коши и теорема Коши

Рассмотрим дифф ур-е первого порядка F(x,y,y’)=0 (1) Если ур-е (1) можно выразить y’, y’=f(x,y) (2) то в этом случае ур-е (2) наз-я разрешенным относительно производной.

dy/dx=f(x,y) (2’)

y=фи(х) определенная на ∆ из R наз-я решением дифф ур-я (2) на ∆ если вып-я условия

1)(х,фи(х)) принадлежать D(f)

2)y=фи(х) дифф на ∆

3)х принадлежит ∆ фи(х)=f(x,фт(х))

Теорема Коши

Пусть для дифф ур-я (2) вып-я след-е условия функции f(x,y) и f’y(x,y) непрерывны в некоторой области G из R^2 тогда какова бы ни была внытр-я точка (x0,y0) G в некоторой окр-и (x0-h;x0+h) сущ-т и при том ед-е решение ур (2) y=фи(х) уд-е начальному условию

Теорема Коши имеет локальный характер, т.е. она указывает на сущ-е и ед-ь решения в достаточной малой окрестности точки

Теорема Коши дает достаточное условие сущ-я единственности решения

3)Понятие общего,частного и особого решения дифф ур-я первого порядка

Рассмотрим дифф ур-е первого порядка резоешенное относительно производной y’=F(x,y) (1) где f(x,y) определены на G из R^2 и пусть в этой области вып-я условия теоремы Коши. Ф-я y=фи(x,c) зависящая от переменной X b произвольной постоянной С наз-я общим решением дифф ур-я (1) области G если вып-я след-е условия: 1)при любом допустимом значении пр пост С ф-я y=фи(x,c) уд-т ур-ю (1) т.е. фи’(x,c)=(x,фи(x,c))) для всех x из Е 2)для любой внутренней точки M0(x0,y0) из G найдется такое значение пр пост С=С0 что ф-я y=фи(x,c0) будет уд-ь начальному условия y(при х=х0)=у0. Вякая ф-я видя у=фи(х,с0) полученная из общего решения дифф ур-я видя (1) при конкретном значении пр пост при С=С0 наз-я частным решением дифф ур-я (1). Решение дифф уравнения (1) наз-я особым, если через любую точку изображающей ее интегральной кривой проходит по крайней мере еще одна инт-я кривая того же ур-я. Особым решением дифф ур-я наз-я такое решение в каждой точку которого нарушается единственное решение задачи Коши.

4)Геометрическое истолкование дифф уравнения первого порядка. Метод изоклин

Пусть дано y’=f(x,y) f(x,y) определена и непрерывна в некоторой области G и пусть у=у(х) инт-я кривая данного уравнения проходящая через некоторую М(хбу) из G

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]