24)Метод наименьших квадратов решения систем линейных уравнений

Предположим что между независимой переменной х и зависимой переменной у сущ-т некоторая функциональная зависимость y=f(x) которая задана в виде таблицы

Х х0 х1 … xn

У y0 y1 … yn (1)

Где y:=f(xi) и получается в ходе эксперимента или наблюдения.

Требуется приближенное аналитическое описание этой зависимости т.е подобрать такую ф-ю фи(х) которая бы аппроксимировала на отрезке [x0,xn] заданную определенным значением yi ф-ю f(x)

S(a1,a2,…,am)=Σ(фи(xi,a1,a2,…,am)-yi)^2

Метод наименьших квадратов состоит в отыскании минимума ф-и S как ф-и нескольких переменных

Для этого необходимо чтобы вып-ь след система

dS/da1=0

dS/da2=0

…

dS/dam=0

25)Метод наименьших квадратов аппроксимации ф-й. Основные двухпараметрические семейства ф-й.

y=ax+b; y=a+b/x

y=a*x^b y=a+blnx

y=a*e^bn

26)Численное интегрирование. Формулы прямоугольников.

Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей длинна которых ∆xk=b-a/x, а в качестве полей ck выберем ередины отрезка [xn-1,xk], ck=xk+xk-1/2 и тогда получим формулу приближенного вычисления опр интеграла

Sf(x)dx=b-a/x * (f(c1)+f(c2)+…+f(cn))

Ck=xk+xk-1/2 формула центральных прямоугольников

Если в качестве точек ck выбрать левый конец отрезка то можно получить формулу левых прямоугольников,ели же в качестве ck выбрать правый конец – формула правых прямоугольников.

27)Численное интегрирование. Формула трапеций и Симпсона

Sf(x)dx=b-a/x * (y0+yn/2 + y1 + y2 + … + yn-1) формула трапеции

Разобьем отрезок [a,b] на 2n равных частей точками а=х0,х1,х2,..,хn,xn+1,..,x2n=b тогда имеет место след-я формула

Sf(x)dx=b-a/bn(y0+y2n+4σ1+2σ2)

σ1=y1+y3+…+y2n-1

σ2=y2+y4+…+y2n-2

Формула Симпсона (формула параболы)

28)Метод Монте-Карло

Пуст дана случ величина ع матем-е ожидание которой равно искомой величине z

M(ع)=z

Осущ-а серия n-независимых испытаний случ величины ع1,ع2,ع3,…,عn и приближенно полагают عn(c чертой)=ع1+ع2+…+عn)/n = Z

M(عn(c чертой))=z

Рассмотрим Sf(x)dx пусть η равномерно распределена на отрезке [0,1] случ величина, т.е имеющая плотность распределения Pn(x)={1 если x [0,1]; 0 если x не принадлежит [0,1]

Тогда ξ=f(x) также представляет собой конкретную случ величину причем ее мат ожидание будет равно

M(ξ)=Sf(x)Pn(x)dx=Sf(x)dx

Таким образом J=ξn(с чертой) = 1/nΣf(ηk)

.

29)Численное дифференцирование

Пусть дана ф-я y=f(x) определенная в некоторой окрестности точки а, придадим точке а приращение h не равно 0,новая точка a+h попадет в эту окрестность тогда ∆у=f(a+h)-f(a)

f’(a)=lim(f(a+h)-f(a))/h

По признаку предела ф-и будем иметь f(a+h)-f(a_/h=f’(a)альфа(h) где альфа(h) – бесконечно малая

f’(a)=(f(a+h)-f(a))/h

Даны точки xn=x0+h*k h>0 k=0,1,..,n и известны значения ф-и f(x) в различных точках, т.е f(x) задана таблично. Требуется найти значения производной ф-и f(x) в указанных точках

Теорема 1

Пусть ф-я y=f(x) дважды непрерывна и дифф на отрезке [x0,x1] тогда в интервале (х0,х1) найдется такая точка С что вып-я равенство

f’(x0)=(f(x1)-(x0))/h – h/2*f”(c)

из теоремы 1 следует f’(x0)=(f(x1)-f(x0))/h

Теорема 2

Y=f(x) трижды непр и дифф на отрезке [x0,x2] тогда в интервале (х0,х1) найдется такая точка что вып-я равенство

f’(x0)=(f(x1)-f(x0))/2h – h^2/6 * f’’’(c)

Из т2 след-т f(x1)=(f(x2)-f(x0))/2h