13) Линейные однородные дифф ур второго порядка. Структура общего решения

Линейным дифф ур-м второго порядка наз-я ур вида A0(x)y”+A1(x)y’+A2(x)y+B(x)=0 где A0(x),A1(x),A2(x),B(x) – заданные ф-и, опр и н непр на Е.

A0(x) не равно 0 на Е по лин дифф ур-е второго порядка можно переписать в виде

y”+p(x)y’+q(x)y=f(x) (1) где p(x)=A1(x)/A0(x)

q(x)=A2(x)/A0(x)

f(x)/B(x)/A0(x)

Ур-е вида (1) наз-я линейным дифф ур-м второго порядка нормального вида. Если в ур-и (1) f(x)=0 на Е то ур-е наз-я линейным однородным дифф ур-м 2-го порядка в противном случае – линейным неоднородным.

1)Если ф-я у-фи(х) – решение дифф ур-я (1) то и ф-я у=Сфи(х) также явл-я решением ур-я (1)

2)если у=фи1(х) и у=фи2(х) – решение ур-я (1) то ф-я у=фи1(х)+фи2(х) также явл-я решением ур-я (1)

3)если ф-я у=фи1(х) и у=фи2(х) явл-я решением ур-я (1) то ф-я у=С1фи1(х)+С2фи2(х), С1,С2 – пр псот также явл-я решением ур-я (1)

Ф-ю у=фи1(х) и у=фи2(х) будем называть фундаментальной системой частных решений ур-я (1) на Е если определитель

Фи1(х) фи2(х)

∆(фи1,фи2)= фи’1(x) фи’2(x)

Не обращается в 0 ни в одной точке этого промежутка Е

Теорема(о структуре общего решения дифф ур-я)

Если ф-и у=фи1(х) и у=фи2(х) образуют фундаментальную систему частных решений ур-я (1) на Е то общее решение ур-я (1) имеет вид у=С1фи1(х)+С2фи2(х) где С1,С2-пр пост

Док-во

Для того чтобы доказать что ф-я у=С1фи1(х)+С2фи2(х) явл-я общим решением ур0я (1) проверим два условия

1)по св-у (3) решений ур-я (1) при любых С1,С2 ф-я у=С1фи1(х)+С2фи2(х) уд-т ур-ю (1)

2)рассмотрим производную x из Е и произвольные начальные условия y(при х=х0)=у0, у=х0=у0 и покажем сто найдутся такие значения пр пост С1=С1*, С2=С2*

У=С1*фи1(х)+С2*фи2(х) будет уд-ь указанными нач условиям

С1фи2(х0)+С2фи2(х0)=у0

С1фи’1(x0)+C2фи’2(x0)=y0

Заметим что определитель осн матрицы системы

Фи1(х0) фи2(х0)

Фи’1(х0) фи’2(х0)

Представляет собой определитель Вронского

Фи1(х) и фи2(х) – этот определитель отличен от 0,а в этом случае система имеет и при том единственное решение, которое можно найти по ф-е Крамера (С1*,С2*). Таким образом ф-я у=С1*фи1(х)+С2*фи2(х) представляет собой частное решение ур-я (1) уд-е заданным нач условиям. Все решение ур-я (1) содержится в формуле у=С1фи1(х)+С2фи2(х)

14)Структура общего решения линейного неоднородного ур второго порядка

Рассмотрим дифф ур-е вида y”+p(x)y’+q(x)y=f(x) (1) где p(x),q(x),F(x) определены и непр на Е, причем f(x) не равно 0. Ур-е получ-е из ур-я (1) при учловии что f(x)≡0 т.е y”+p(x)y’+q(x)y=0 (2) будем называть соот-м однородным уравнением.

Теорема(о структуре решения ЛНДУ)

Если фи1(х) и фи2(х) образуют ф.с.ч.р. соот-о однородного ур-я (2); F(x) какое либо частное решение ур-я (1) то общее решение ур-я (1) имеет вид y=C1фи1(х)+С2фи2(х)+F(x)

15)Метод вариации пр пост (метод Лагранжа) отыскания частного решения неоднородного линейного дифф ур второго порядка

Рассмотрим универсальный метод отыскания какого либо частного решения ур (1)

Фи1(х) и фи2(х) – ф.с.ч.р (2)

Будем искать частное решение ур-я (1) в виде у=С1фи1(х)+С2фи2(х) (3)

Где С1(х) и С2(х) пока неизвестные ф-т

Для отыскания ф-и С1(х) и С2(х) нужно получить два условия ( уравнения)

Найдем производную

y’=C’1(x)фи1(х)+C1(x)фи’1(x)+C’2(x)фи2(х)+С2(х)фи’2([)=C1(x)фи’1(x)+C2(x)фи’2(x)+C’1(x)+C’2(x)фи2(х)

C’1(x)фи1(х)+C’2(x)фи2(х)=0 (4)

y’=C1(x)фи’1(х)+С2(х)фи’2(х)

y”=С’1(х)фи’1(х)+С1(х)фи”1(х)+С’2(х)фи’2(х)+С2(х)фи”2(х)

y’=C1(x)фи’1(х)+С2(х)фи’2(х)

C’1(х)фи’1(х)+С1(х)фи”1(х)+С’2(х)фи2(х)+С2(х)фи”2(х)+р(х)(С1(х)+фи’1(х)+С2(х)фи’2(х))+q(х)(С1(х)фи1(х)+С2(х)фи2(х))=f(x)

С1(х)(фи”1(х)+р(х)фи’1(х)+q(x)фи1(х))+С2(х)(фи”2(х)+р(х)+фи’2(х)+q(x)фи2(х))+С’1(х)фи’1(х)+С’2(х)фи’2(х)=f(x)

С’1(х)фи’1(х)+С’2(х)фи’2(х)=f(x) (5)

Условие (4) и условие (5) должны вып-я одновременно

C’1(x)фи1(х)+C’2(x)фи2(х)=0

С’1(х)фи’1(х)+С’2(х)фи’2(х)=f(x) (*)

Фи1(х) фи2(х)

∆= не равно 0 на Е

Фи’1(х) фи’2(х)

С1(х)=SС’1(х)dx

C2(x)=SC’2(x)dx