- •Понятие дифф. Уравнения.
- •2)Дифф уравнение первого порядка. Задача Коши и теорема Коши
- •3)Понятие общего,частного и особого решения дифф ур-я первого порядка
- •5)Дифф ур-е первого порядка с разделяющимися переменными
- •6)Линейные дифф ур-я первого порядка. Теорема Коши
- •7) Уравнение Бернулли
- •8)Уравнение в полных дифференциалах
- •9)Однородное дифф уравнение первого порядка
- •10)Дифф ур высших порядков. Понятие общего и частного решения
- •11)Дифф ур высших порядков. Задача Коши. Теорема Коши.
- •12) Ур высших порядков допускающие понижение порядков
- •13) Линейные однородные дифф ур второго порядка. Структура общего решения
- •14)Структура общего решения линейного неоднородного ур второго порядка
- •15)Метод вариации пр пост (метод Лагранжа) отыскания частного решения неоднородного линейного дифф ур второго порядка
- •16) Линейные однородные дифф ур второго порядка с постоянными коэф
- •17)Линейные неоднородные дифф ур второго порядка с постоянными коэфф. Метод неопределенных коэф.
- •18)Дифф ур с частными производными. Основные понятия.
- •19)Квазилинейные и линейные дифф ур с частными производными второго порядка и их классификация
- •20) Канонические формы квазилинейных дифф ур-й с частными производными второго порядка
- •21) Задача о свободных колебаниях конечной струны. Метод Фурье,
- •22)Приближенные методы решений уравнения
- •23)Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа
- •24)Метод наименьших квадратов решения систем линейных уравнений
- •25)Метод наименьших квадратов аппроксимации ф-й. Основные двухпараметрические семейства ф-й.
- •26)Численное интегрирование. Формулы прямоугольников.
- •27)Численное интегрирование. Формула трапеций и Симпсона
- •28)Метод Монте-Карло
- •29)Численное дифференцирование
- •30)Метод Эйлера решения начальных задач для обыкновенных дифф ур
- •31)Метод Рунге-Кутта
- •32) Метод степенных рядов решения начальных задач для обыкновенных дифф уравнений
13) Линейные однородные дифф ур второго порядка. Структура общего решения
Линейным дифф ур-м второго порядка наз-я ур вида A0(x)y”+A1(x)y’+A2(x)y+B(x)=0 где A0(x),A1(x),A2(x),B(x) – заданные ф-и, опр и н непр на Е.
A0(x) не равно 0 на Е по лин дифф ур-е второго порядка можно переписать в виде
y”+p(x)y’+q(x)y=f(x) (1) где p(x)=A1(x)/A0(x)
q(x)=A2(x)/A0(x)
f(x)/B(x)/A0(x)
Ур-е вида (1) наз-я линейным дифф ур-м второго порядка нормального вида. Если в ур-и (1) f(x)=0 на Е то ур-е наз-я линейным однородным дифф ур-м 2-го порядка в противном случае – линейным неоднородным.
1)Если ф-я у-фи(х) – решение дифф ур-я (1) то и ф-я у=Сфи(х) также явл-я решением ур-я (1)
2)если у=фи1(х) и у=фи2(х) – решение ур-я (1) то ф-я у=фи1(х)+фи2(х) также явл-я решением ур-я (1)
3)если ф-я у=фи1(х) и у=фи2(х) явл-я решением ур-я (1) то ф-я у=С1фи1(х)+С2фи2(х), С1,С2 – пр псот также явл-я решением ур-я (1)
Ф-ю у=фи1(х) и у=фи2(х) будем называть фундаментальной системой частных решений ур-я (1) на Е если определитель
Фи1(х) фи2(х)
∆(фи1,фи2)= фи’1(x) фи’2(x)
Не обращается в 0 ни в одной точке этого промежутка Е
Теорема(о структуре общего решения дифф ур-я)
Если ф-и у=фи1(х) и у=фи2(х) образуют фундаментальную систему частных решений ур-я (1) на Е то общее решение ур-я (1) имеет вид у=С1фи1(х)+С2фи2(х) где С1,С2-пр пост
Док-во
Для того чтобы доказать что ф-я у=С1фи1(х)+С2фи2(х) явл-я общим решением ур0я (1) проверим два условия
1)по св-у (3) решений ур-я (1) при любых С1,С2 ф-я у=С1фи1(х)+С2фи2(х) уд-т ур-ю (1)
2)рассмотрим производную x из Е и произвольные начальные условия y(при х=х0)=у0, у=х0=у0 и покажем сто найдутся такие значения пр пост С1=С1*, С2=С2*
У=С1*фи1(х)+С2*фи2(х) будет уд-ь указанными нач условиям
С1фи2(х0)+С2фи2(х0)=у0
С1фи’1(x0)+C2фи’2(x0)=y0
Заметим что определитель осн матрицы системы
Фи1(х0) фи2(х0)
Фи’1(х0) фи’2(х0)
Представляет собой определитель Вронского
Фи1(х) и фи2(х) – этот определитель отличен от 0,а в этом случае система имеет и при том единственное решение, которое можно найти по ф-е Крамера (С1*,С2*). Таким образом ф-я у=С1*фи1(х)+С2*фи2(х) представляет собой частное решение ур-я (1) уд-е заданным нач условиям. Все решение ур-я (1) содержится в формуле у=С1фи1(х)+С2фи2(х)
14)Структура общего решения линейного неоднородного ур второго порядка
Рассмотрим дифф ур-е вида y”+p(x)y’+q(x)y=f(x) (1) где p(x),q(x),F(x) определены и непр на Е, причем f(x) не равно 0. Ур-е получ-е из ур-я (1) при учловии что f(x)≡0 т.е y”+p(x)y’+q(x)y=0 (2) будем называть соот-м однородным уравнением.
Теорема(о структуре решения ЛНДУ)
Если фи1(х) и фи2(х) образуют ф.с.ч.р. соот-о однородного ур-я (2); F(x) какое либо частное решение ур-я (1) то общее решение ур-я (1) имеет вид y=C1фи1(х)+С2фи2(х)+F(x)
15)Метод вариации пр пост (метод Лагранжа) отыскания частного решения неоднородного линейного дифф ур второго порядка
Рассмотрим универсальный метод отыскания какого либо частного решения ур (1)
Фи1(х) и фи2(х) – ф.с.ч.р (2)
Будем искать частное решение ур-я (1) в виде у=С1фи1(х)+С2фи2(х) (3)
Где С1(х) и С2(х) пока неизвестные ф-т
Для отыскания ф-и С1(х) и С2(х) нужно получить два условия ( уравнения)
Найдем производную
y’=C’1(x)фи1(х)+C1(x)фи’1(x)+C’2(x)фи2(х)+С2(х)фи’2([)=C1(x)фи’1(x)+C2(x)фи’2(x)+C’1(x)+C’2(x)фи2(х)
C’1(x)фи1(х)+C’2(x)фи2(х)=0 (4)
y’=C1(x)фи’1(х)+С2(х)фи’2(х)
y”=С’1(х)фи’1(х)+С1(х)фи”1(х)+С’2(х)фи’2(х)+С2(х)фи”2(х)
y’=C1(x)фи’1(х)+С2(х)фи’2(х)
C’1(х)фи’1(х)+С1(х)фи”1(х)+С’2(х)фи2(х)+С2(х)фи”2(х)+р(х)(С1(х)+фи’1(х)+С2(х)фи’2(х))+q(х)(С1(х)фи1(х)+С2(х)фи2(х))=f(x)
С1(х)(фи”1(х)+р(х)фи’1(х)+q(x)фи1(х))+С2(х)(фи”2(х)+р(х)+фи’2(х)+q(x)фи2(х))+С’1(х)фи’1(х)+С’2(х)фи’2(х)=f(x)
С’1(х)фи’1(х)+С’2(х)фи’2(х)=f(x) (5)
Условие (4) и условие (5) должны вып-я одновременно
C’1(x)фи1(х)+C’2(x)фи2(х)=0
С’1(х)фи’1(х)+С’2(х)фи’2(х)=f(x) (*)
Фи1(х) фи2(х)
∆= не равно 0 на Е
Фи’1(х) фи’2(х)
С1(х)=SС’1(х)dx
C2(x)=SC’2(x)dx