Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Mat_analiz.doc
Скачиваний:
4
Добавлен:
16.12.2018
Размер:
140.8 Кб
Скачать

16) Линейные однородные дифф ур второго порядка с постоянными коэф

17)Линейные неоднородные дифф ур второго порядка с постоянными коэфф. Метод неопределенных коэф.

Рассмотрим несколько вспомогательных фактов

1)многочленом n i-степени переменной х наз-я ф-я вида рn(x)=bnx^n+bnX^n+…+b1x+b0

bn1,bn-1,…,b0 – действительные числа

Число а наз-я корнем кратности альфа многочлена р(х) если этот многочлен можно представить в виде р(х)=(х-1)^альфа*Q(x)

2)k^2+pk+q=0

Λ(k)=k^2+pk+q - характеристический многочлен

λ(к) он имеет два корня

1)к1 не равно л2 2)к1=к2

1)λ (к)=(k-k1)(k-k2)

λ (k)=(k-k2)(k-k1)

k1 не равно k2 λ(k1)=0 λ(k2)=0

λ(k1) не равно 0 λ(k2) не равно 0

λ’(k1)= λ’(k2) не равно 0

2)k1=k1=k1

λ ((k2)=0

λ’(k2)=0

λ”(k2) не равно 0

Рассмотрим дифф ур вида

y’+py’+qy=e^ альфаx * Pm(x) (2)

p,q,альфа - некоторые действительные числа

Pm(x) – многочлен в степени m

Утверждение 1

Частное решение дифф ур (2) можно искать в виде y=x^l * e^альфах * Qm(x)

e- кратность корня альфа для характеристического ур-я λ(к)

Qm(x) – многочлен степени m с неопр коэф

18)Дифф ур с частными производными. Основные понятия.

Ур-е связывающее неизвестную ф-ю от нескольких независимых переменных, независимые переменные и частные производные от этой неизвестной ф-и наз-я диф ур с частными производными

Пример: d^2U/dx^2+d^2U/d^2y^2 U=U(x,y)

В общем виде дифф ур в частных произ-х относительно ф-и U=U(x,y) можно записать след образом

F(x,y)U, dU/dx, dU/dy, … , d^nU/dn^(n-k) dyk … = 0 (1)

F – ф-я своих переменных

Порядок старшей частной производной входящей в данное диф ур наз-я порядком этого ур-я

Пусть дано диф ур-е (1) n-го порядка ф-я U=фи(x,y) задана в области G из R^2 наз-я решением ур-я (1) в области G если она непрерывна всеемте со своими частными производными до порядка n включительно и при подстановке в ур-е (1) обращает его в тождество в области G

F(x,y,фи(х,у), dфи(х,у)/dx, dфи(х,у)/dy, … , d^nфи(х,у)/dn^(n-k) dyk … ≡0

Как правило общее решение дифф ур-я в частных производных зависит от производных ф-и, число которых равно порядку этого уравнения.

19)Квазилинейные и линейные дифф ур с частными производными второго порядка и их классификация

Квазилинейным дифф ур второго с частными производными наз-я ур вида

a11(x,y)d^2U/dx^2 + 2a12(x,y)d^2U/dxdy + a22(x)d^2U/dy^2 + Ф(x,y,U,dU/dx,dU/dy)=0 (1)

a11(x,y), a12(x,y), a22(x,y) - некоторые заданные ф-и наз-е коэф ур-я

Ф- ф-я своих аргументов

Линейным дифф ур в частных производных второго порядка наз-я ур-е вида

a11(x,y)d^2U/dx^2 + 2a12(x,y)d^2U/dxdy + a22(x)d^2U/dy^2+b1(x,y)dU/dx + b2(x,y)dY/dy + C(x,y) U(x,y) = f(x,y) (2)

a11(x,y), a12(x,y), a22(x,y) ,b1(x,y),b2(x,y),C(x,y) – заданные ф-и называемые коэфф

f(x,y) – заданная ф-я наз-я свободным членом

Всякое линейное ур-е наз-я квазилинейным дийй ур-м

Если в ур-и (2) ф-я f(x,y)≡0, то такое ур-е наз-я однородным, в противном случае неоднородным

Дискриминантом квазилинейного ур-я наз-я ф-я вида

D(x,y)=(a12(x,y))^2-a11(x,y)a22(x,y)

В зависимости от значений дискриминанта различают три типа квазилинейных уравнений

D(x,y)=(1/2sinxy)^2+xy

Дифф ур (1) (или (2)) наз-я уравнением гиперболического типа в точке M0(x0,y0) если D(x0,y0)>0

Пример: d^2U/dx^2 – 4*d^2U/dy^2=0

a11(x,y)=1 a12(x,y)=0 a22(x,y)=-4

D(x,y)=0^2-1(-4)=4>0

Дифф ур-е (1) (или (2)) на-я уравнением параболического типа в точке М0(х0,н0) если D(x,y)=0

Пример: d^2U/dx^2 * U =0

a11(x,y)=1 a12(x,y)=0 a22(x,y)=0

D(x,y)=0-1*0=0

Дифф ур (1) (или (2)) наз-я ур-м эллиптического типа в точке M0(x0,y0) если D(x0,y0)<0

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]