- •Понятие дифф. Уравнения.
- •2)Дифф уравнение первого порядка. Задача Коши и теорема Коши
- •3)Понятие общего,частного и особого решения дифф ур-я первого порядка
- •5)Дифф ур-е первого порядка с разделяющимися переменными
- •6)Линейные дифф ур-я первого порядка. Теорема Коши
- •7) Уравнение Бернулли
- •8)Уравнение в полных дифференциалах
- •9)Однородное дифф уравнение первого порядка
- •10)Дифф ур высших порядков. Понятие общего и частного решения
- •11)Дифф ур высших порядков. Задача Коши. Теорема Коши.
- •12) Ур высших порядков допускающие понижение порядков
- •13) Линейные однородные дифф ур второго порядка. Структура общего решения
- •14)Структура общего решения линейного неоднородного ур второго порядка
- •15)Метод вариации пр пост (метод Лагранжа) отыскания частного решения неоднородного линейного дифф ур второго порядка
- •16) Линейные однородные дифф ур второго порядка с постоянными коэф
- •17)Линейные неоднородные дифф ур второго порядка с постоянными коэфф. Метод неопределенных коэф.
- •18)Дифф ур с частными производными. Основные понятия.
- •19)Квазилинейные и линейные дифф ур с частными производными второго порядка и их классификация
- •20) Канонические формы квазилинейных дифф ур-й с частными производными второго порядка
- •21) Задача о свободных колебаниях конечной струны. Метод Фурье,
- •22)Приближенные методы решений уравнения
- •23)Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа
- •24)Метод наименьших квадратов решения систем линейных уравнений
- •25)Метод наименьших квадратов аппроксимации ф-й. Основные двухпараметрические семейства ф-й.
- •26)Численное интегрирование. Формулы прямоугольников.
- •27)Численное интегрирование. Формула трапеций и Симпсона
- •28)Метод Монте-Карло
- •29)Численное дифференцирование
- •30)Метод Эйлера решения начальных задач для обыкновенных дифф ур
- •31)Метод Рунге-Кутта
- •32) Метод степенных рядов решения начальных задач для обыкновенных дифф уравнений
16) Линейные однородные дифф ур второго порядка с постоянными коэф
17)Линейные неоднородные дифф ур второго порядка с постоянными коэфф. Метод неопределенных коэф.
Рассмотрим несколько вспомогательных фактов
1)многочленом n i-степени переменной х наз-я ф-я вида рn(x)=bnx^n+bnX^n+…+b1x+b0
bn1,bn-1,…,b0 – действительные числа
Число а наз-я корнем кратности альфа многочлена р(х) если этот многочлен можно представить в виде р(х)=(х-1)^альфа*Q(x)
2)k^2+pk+q=0
Λ(k)=k^2+pk+q - характеристический многочлен
λ(к) он имеет два корня
1)к1 не равно л2 2)к1=к2
1)λ (к)=(k-k1)(k-k2)
λ (k)=(k-k2)(k-k1)
k1 не равно k2 λ(k1)=0 λ(k2)=0
λ(k1) не равно 0 λ(k2) не равно 0
λ’(k1)= λ’(k2) не равно 0
2)k1=k1=k1
λ ((k2)=0
λ’(k2)=0
λ”(k2) не равно 0
Рассмотрим дифф ур вида
y’+py’+qy=e^ альфаx * Pm(x) (2)
p,q,альфа - некоторые действительные числа
Pm(x) – многочлен в степени m
Утверждение 1
Частное решение дифф ур (2) можно искать в виде y=x^l * e^альфах * Qm(x)
e- кратность корня альфа для характеристического ур-я λ(к)
Qm(x) – многочлен степени m с неопр коэф
18)Дифф ур с частными производными. Основные понятия.
Ур-е связывающее неизвестную ф-ю от нескольких независимых переменных, независимые переменные и частные производные от этой неизвестной ф-и наз-я диф ур с частными производными
Пример: d^2U/dx^2+d^2U/d^2y^2 U=U(x,y)
В общем виде дифф ур в частных произ-х относительно ф-и U=U(x,y) можно записать след образом
F(x,y)U, dU/dx, dU/dy, … , d^nU/dn^(n-k) dyk … = 0 (1)
F – ф-я своих переменных
Порядок старшей частной производной входящей в данное диф ур наз-я порядком этого ур-я
Пусть дано диф ур-е (1) n-го порядка ф-я U=фи(x,y) задана в области G из R^2 наз-я решением ур-я (1) в области G если она непрерывна всеемте со своими частными производными до порядка n включительно и при подстановке в ур-е (1) обращает его в тождество в области G
F(x,y,фи(х,у), dфи(х,у)/dx, dфи(х,у)/dy, … , d^nфи(х,у)/dn^(n-k) dyk … ≡0
Как правило общее решение дифф ур-я в частных производных зависит от производных ф-и, число которых равно порядку этого уравнения.
19)Квазилинейные и линейные дифф ур с частными производными второго порядка и их классификация
Квазилинейным дифф ур второго с частными производными наз-я ур вида
a11(x,y)d^2U/dx^2 + 2a12(x,y)d^2U/dxdy + a22(x)d^2U/dy^2 + Ф(x,y,U,dU/dx,dU/dy)=0 (1)
a11(x,y), a12(x,y), a22(x,y) - некоторые заданные ф-и наз-е коэф ур-я
Ф- ф-я своих аргументов
Линейным дифф ур в частных производных второго порядка наз-я ур-е вида
a11(x,y)d^2U/dx^2 + 2a12(x,y)d^2U/dxdy + a22(x)d^2U/dy^2+b1(x,y)dU/dx + b2(x,y)dY/dy + C(x,y) U(x,y) = f(x,y) (2)
a11(x,y), a12(x,y), a22(x,y) ,b1(x,y),b2(x,y),C(x,y) – заданные ф-и называемые коэфф
f(x,y) – заданная ф-я наз-я свободным членом
Всякое линейное ур-е наз-я квазилинейным дийй ур-м
Если в ур-и (2) ф-я f(x,y)≡0, то такое ур-е наз-я однородным, в противном случае неоднородным
Дискриминантом квазилинейного ур-я наз-я ф-я вида
D(x,y)=(a12(x,y))^2-a11(x,y)a22(x,y)
В зависимости от значений дискриминанта различают три типа квазилинейных уравнений
D(x,y)=(1/2sinxy)^2+xy
Дифф ур (1) (или (2)) наз-я уравнением гиперболического типа в точке M0(x0,y0) если D(x0,y0)>0
Пример: d^2U/dx^2 – 4*d^2U/dy^2=0
a11(x,y)=1 a12(x,y)=0 a22(x,y)=-4
D(x,y)=0^2-1(-4)=4>0
Дифф ур-е (1) (или (2)) на-я уравнением параболического типа в точке М0(х0,н0) если D(x,y)=0
Пример: d^2U/dx^2 * U =0
a11(x,y)=1 a12(x,y)=0 a22(x,y)=0
D(x,y)=0-1*0=0
Дифф ур (1) (или (2)) наз-я ур-м эллиптического типа в точке M0(x0,y0) если D(x0,y0)<0