9)Однородное дифф уравнение первого порядка

Однородное ур-е строится на понятии однородной ф-и.

Ф-я f(x,y) определенная в некоторой области D наз-я однородной ф-й в этой области если в каждой точке (x,y) из D и для любого действительного числа t такого что (tx,ty) из D вып-я равенство f(tx,ty)=t^k*f(x,y). Число k наз-я показателем однородности или измерением ф-и.

Дифф ур-е dy/dx=f(x,y) (1) наз-я однородным если ф-я f(x,y) явл-я однородной ф-й нулевого измерения

f(tx,ty)=t^0*f(x,y)=f(x,y) (*)

Заметим, т.к. (*) вып-я при любом t то оно ост-я справедливым и при t=1/x (x не равно0)

F(1,y/x)=f(x,y)

Таким образом в дифф ур (1) первая часть предст-т собой ф-ю отношения y/x. Введем в рассм-е новую неиз-ю ф-ю U=y/x (2)

y=Ux

y’=U’x+U

Ур-е (1) примет вид U’x+U=фи(U)

U’x=фи(U)-U

U’=(фи(U)-U)/x – ур с разделяющимися переменными

Du/dx=(фи(U)-U)/2

Фи(U)-U не равно 0 (**)

dU/фи(U)-U = dx/x - ур с разделенными переменными

Sdu/фи(u-u)=Sdx/x+C

Sdu/фи(U)-U=ln[x]+C C –р пост

При допущении (**) мы могли потерять решение, поэтому непосредственной проверкой уст-м явл-я ли ф-я U=Uk таким что U(Uk)-Un=0 решением ур-я (1)

10)Дифф ур высших порядков. Понятие общего и частного решения

Дифф ур F(x,y,y’,y”,…,y^n) = 0 наз-я дифф ур-м высшего порядка. Если дифф ур-е высшего порядка может привести к виду y^n=f(x,y,y’,…,y^(n-1)) то оно наз-я ур-м разрешенным отн старшей производной. Для того чтобы из мн-а решений дифф ур-я высшего порядка выделить какое то одно нужны доп-е условия. В качестве таких доп условий можно рассмотреть след-е: y(при х=0)=у0 у(при х=0)=y’0 (2)

Условие (2) будем называть начальным условием.

Общим решением дифф ур-я вида (1) в области G из R^(n+1) наз-я ф-я y=фи(x,C1,C2,…,Cn) зависящая от переменной x и n произвольных постоянных. С1,С2,..,Сn уд-т след условиям:

1)для любых допустимых значений пр пост С1,С2,..Сn ф-я y=фи(x,C1,C2,…,Cn) уд-т ур-ю (1) на некотором числовом промежутке Е

2)для любой внутренней точке M0(x0,y0,y’0,…,y^(n-1)) из G можно подобрать такие значения пр псот C1^0,C2^0,…,Cn^0 что ф-я y=фи(x,C1^0,C2^0,…,Cn^0) будет уд-ь начальным условиям вида (2)

Ф-я y=фи(x,C1^0,C2^0,…,Cn^0) полученная из общего решения при конкретном значении пр пост наз-я частным решением ур-я (1)

11)Дифф ур высших порядков. Задача Коши. Теорема Коши.

Задача Коши для дифф ур высшего порадка вида (1) состоит в отыскании решения ур-я (1) удовлетворяющего начальным условиям вида (2)

Теорема Коши

Пусть дано дифф ур-е вида (1) если в ур-и (1) ф-я f(x,y,y’,…,y^(n-1)) непрерывна в некоторой области G из R^(n+1) вместе со своими частными производными y,y’,..,y^(n+1) то для любой внутренней точки M0(x0,y0,y’0,…y0^(n-1)) из G то на некотором промежутке (x0-h,x0+h) сущ-т и причем единственное решение ур-я (1) y=фи(х) уд-е начальным условиям вида (2).

12) Ур высших порядков допускающие понижение порядков

В некоторых случаях решение ур-я n-го порядка F(x,y,y’,…,y^(n))=0 может быть решено например с помощью подстановки путем сведения к дифф уравнению более низкого порядка. В этом случае говорят что исходное ур-е допускает понижение порядка.

1)ур-е явно не содержащее неизвестные ф-и

F(x,y’,y”,…,y^n)=0 (2)

С помощью замены переменных z=y’, z=z(x) можно решение ур-я (2) привести к решению ур-я более низкого порядка.

Y”=(y’)’=z’ y^n=z”, y^n=z^(n-1)

F(x,z,z’,…,z(n-1))=0

Допустим что последнее ур-е имеет вид

Z=фи(x,C1,C2,…,C(n-1))

Z=y’

Y’=фи(x,C1,C2,…,C(n-1))

y-Sфи(x,C1,C2,…,C(n-1))dx+C C1,C2,Cn – пр пост

Замечание: если ур-е f(x,y^k,y^(k+1),…,y^n)=0 то с помощью замены 2=у^k можно понизить порядок уравнения на k единиц.

2)ур явно не содержащее неизвестные переменные

F(y,y’,…,y^n)=0

Для понижения порядка такого ур выполним след замену

Z=y’, z=z(y)=z(y(x))

Для простоты рассмотрим дифф ур-е 2-го порядка

F(y,y’,y”)=0 (3)

Z=y’ z=z(y)

y”=dz/dx=dz/dy*dy/dx=z*dz/dy

F(y,z,z*dz/dy)=0

Пусть общее решение ур-я имеет вид z=фи(y,C1)

Z=y’ y’=фи(y,C1) dy/dx=фи(y,C1)

dy/фи(y,C1)=dx

Sdy/фи(y,C1)=x+C2 C1,C2-пр пост

y*y”+(y’)^2=0

z=y’ z=z(y)

y”=dz/dy dy/dx=z*dz/dy

yz*dz/dy+z^2*0 (*)

dz/dy=-z^2/yz yz не равно 0

dz/dy=-z/y dz/z=-dy/y

ln[z]=-ln[y]+C

ln[zy]=C1

[zy]=e^C1

zy=e^C1

zy=C2 C2 не равно 0

z=C2/y

z=C2/y – общее решение

y’=C2/y

dy/dx=C2/y

ydy=C2dx

Sydy=SC2dx+C3

Y^2/z=C2x+C3