5)Дифф ур-е первого порядка с разделяющимися переменными

Рассмотрим дифф ур-е вида dy/dx=f(x,y) (2). Будем говорить что дифф ур-е (2) разрешимо в квадратах, если его общее решение может быть получено с помощью одной или нескольких квадратур. Отметим что не всякое дифф ур-е (2) разрешимо в квадратах.

Дифф ур-м первого порядка с разделяющимися переменными наз-я ур-е вида dy/dx=f1(x)f2(x) (3) где f1(x) – дифф ур-е одной переменной х опр и непр на (а,b); f2(y) – ф-я у опр и непр на (c,d). Для решения дифф ур-я вида (3) допустим что f2(y) не равно 0 (*) и разделим обе части ур-я (3) на f2(y) и умножим на dx, получим dy/f2(y)=f1(x)dx (4).

Ур-е (4) – дифф ур-е с разделенными переменными. У=у(х) – решение ур-я (4) тогда имеет место равенство dy(x)/f2y(x)=f1(x)dx. Проинтегрируем обе части последнего равенства, получим: интеграл dy/f2(y)=интеграл f1(x)dx+C где С-пр пост (5)

(5) – решение дифф ур-я (4) => (3). Таким образом ур-е (3) разрешимо в квадратах.

6)Линейные дифф ур-я первого порядка. Теорема Коши

Линейным дифф ур-м первого полрядка наз-я ур-е вида A(x)y’+B(x)y+C(x)=0 (1). A(x),B(x),C(x) – заданные ф-и опр на промежутке (a,b)

Пусть A(x) не равно 0, разделим обе части ур-я (1) на А(х) получим ур-е след-о вида: y’+p(x)y=q(x) (2), где p(x)= B(x)/A(x), q(x)= -C(x)/A(x) (2). Ур-е (2) принято наз-ь лин-м дифф ур-м первого порядка нормального вида. В ур-и (2) ф-я р(х) – коэф-т ур-я, q(x) – свободный член. Если в ур-и (2) q(x) =0 то ур-е (2) наз-т линейным однородным дифф ур-м первого порядка, в противном случае линейное неоднородное дифф ур первого порядка.

7) Уравнение Бернулли

Дифф ур-е вида dy/dx+p(x)y=q(x)y^m (m не равно 0 и1) (4) , p(x), q(x) заданные и непрерывные на некотором пром-е ф-и, m – некоторое действительное число наз-я уравнением Бернулли.

Разделим обе части ур-я (4) на y^m

Y^(-m)*dy/dx+p(x)*y^(10m)=q(x)

Введем в рассмотрение новую неизвестную ф-ю z=y^(1-m) (5)

Заметим что произ-я ф-и z имеет вид z’=(1-m)Y^(-m)y’

y(-m)y’=1/1-m*z’

Получим

1/1-m*z’+p(x)z=q(x)

Z’+(1-m)p(x)z=(1=m)q(x) (6)

Заметим что ур-е (6) представляет собой линейное дифф ур-е первого порядка относительно ф-и z=z(x). Выполним щамену (5) получим общий интеграл ур-я (4). Замечание: 1)ур-е Бернулли имеет при m>0 еще одно решение y=0 при m<1 y=0 явл-я особым решением ур-я (4) 2)при решении ур-я Бернулли нет необходимости пользоваться готовой формулой общего решения, проще восп-я замекной (5) и свести его е линейному ур-ю

Y=1/2+x=Ce^x C – пр пост

8)Уравнение в полных дифференциалах

Всякое дифф ур вида dy/dx=F(x,y) можно зарисать в след-й форме M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (1) . Форма записи (1) наз-я симметричной отн-о (х,у) дифф формой. Дифф ур-е вида (1) наз-я ур-м в полных дифф-х если сущ-т хотя бы одна ф-я от двух переменных U(x,y) такая что ее полный дифф-л dU(x) совпадает с левой частью уравнения (1) в некотрой области D из R^2

Если ур-е (1) представляет собой ур-е в полных дифф-х то его нужно переписать в виде dU(x,y)=0 тогда общий интеграл ур-я (1) имеет вид: U(x,y)=c C –пр пост

Справедлива след-я теорема

Для того чтобы дифф ур (1) было ур-м в полных дифф-х в некоторой области D необходимо и достаточно чтобы вып-ь равенство dU(x,y)/dy=dU(x,y)/dx

Замечание: ур-е (1) не всегда представляет собой ур-е в полных дифф (dM/dy не равно dN/dx). Однако в некоторых случаях это ур-е удается свести в ур-е в полных дифф-х.

Ф-я мю(x,y) наз-я инт-м множителем для ур-я (1) если ур-е мю(х,у)M(x,y)dx+мю(х,у)N(x,y)dx=0 явл-я ур-м в полных дифф-х в области D.

Пусть дано ур-е (1) если dM/dy-dN/dx:N(x,Y) = Ф(х) (Ф(х) – ф-я х) то сущ-т инт-й множитель мю(х,у) причем мю(х,у)=е^SФ(х)dx. Если dN/dx-dM/dy:M(x,y) = Ψ(y) то мю(х,у)=е^SΨ(y)dy