1.4. Доверительные интервалы Опорный конспект

При малом числе наблюдений точечная оценка в значительной степени случайна, и замена истинного значения параметра на оценку может привести к серьезным ошибкам.

Чтобы дать представление о точности и надежности оценки в матема­тической статистике используют так называемые доверительные интервалы и доверительную вероятность.

Пусть найденная по данным выборки величина служит оценкой неиз­вестного параметра а. Оценка определяет параметр а, тем точнее, чем меньше , т.е. чем меньше величина в неравенстве Так как оценка – случайная величина, то и разность – случайная величина. Поэтому неравенство при заданном может выполняться только с некоторой вероятностью.

Доверительной вероятностью (надежностью) оценки параметра а называется вероятность , с которой оценивается неравенство

Доверительную вероятность назначают достаточно большой (0,9; 0,95; 0,99), чтобы событие с вероятностью можно было считать прак­тически достоверным. Затем находят такое значение для которого

В этом случае диапазон возможны значении ошибки, возникающей при замене параметра а на оценку , будет Большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью которую называют вероятностью риска или уровнем значимости.

Неравенство можно записать в виде

Доверительным интервалом называется интервал , ко­торый накрывает неизвестный параметр а с заданной надежностью Дове­рительный интервал также можно рассматривать как интервал значений па­раметра а, совместимых с опытными данными и не противоречащий им.

Точные доверительные интервалы строятся, как правило, в предположении нормальности данных. Следует понимать, что реальные данные, на основании которых мы строим эти интерва­лы, могут вовсе не выглядеть нормальными (например, это целые положительные числа, в то время как нормальное распределение непрерывно и рассредоточено по всей действительной прямой). Тем не менее, широкое практическое применение описываемых методов дает неплохие результаты. Это объясняется, в частности, асимптотической нормальностью оценок.

Предположим, что наблюдается случайная величина Х имеющая нормальное распределение с параметрами а и Для параметров строятся следующие точные доверительные ин­тервалы.

1. Для неизвестного среднего при известной дисперсии

(4.1)

где . В свою очередьопределяется из соотношения

2. Для неизвестного среднего а при неизвестной дисперсии

(4.2)

где – критическая точка распределения Стьюдента (для двусто­ронней области) с степенью свободы, на уровне значимости .

3. Для неизвестной дисперсии :

(4.3)

где и – критические точки – распределения со степенями свободы и соответствующими уровнями значимости, .

Можно также по выборке построить доверитель­ный интервал для следующего -го, наблюдения (т.е. опре­делить границы, в которых оно будет лежать с заданной вероят­ностью), а именно имеем

(4.4)

Понятно, что это может быть полезно в качестве прогноза на будущее.

Доверительный интервал, который с надежностью покрывает оцениваемый параметр р при больших значениях п (порядка сотен), имеет вид , где

и , (4.5)

– относительная частота события А; определяется из равенства 2Фо() =.

Для оценки приближенного равенства можно использовать равенство

(4.6)