Основные структуры классической математики
.pdf(5) !, | ± . %.
2 1.
/. ! ' % ! %
, !, | ..
! , " 1. 4 (1)
10. 4 (2) ) 1. 4 (4)
[4]. . , (5) (1) (4).
2. $ # ! 2
#4 :
10. ! ± .
20. ! ± ' .
30. ! ± , # 2
# -1.
40. ! ± , 2
.
50. !, | ± ( ) .
%.
! , ". ;, 10 20. - 20 30
7. 8 ) 1 2
30 40. - ) 3 40 , !
, ) 1
,
). $ 1, 40 50. , 50,
1, (2) 1 ) 4 3
) 10.
.
[25].
-
" , ! 1.
+ #4 * !
) P, , 1 !
1 P (),
).
* 5. ; ! %
, % #4 *.
0, ) 1
) )
71
*. , !
* P, 1 P , ! ± )
.
)
() 4). *
).
) ! :
', )
1 ) 1 ;
, ) 1 !
) ) .
/ , )
1 .
* 6. '
# %.
, ,
%. ; ),
. $ (),
, %, , ,
) . : 1,
* , #4
2 #4 ..
* 4. $ !
* 1, |
2,¼ , n,¼ , |
|
|
! |
||||
an2 = an3+1, n N. |
9 |
|
! |
* |
||||
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
am × ak2 |
×...× akn (m = 0, 1, 2, ... k |
i |
= 0, 1, 2) . |
|||||
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
) |
|
! |
|
|
||||
, a12 a22 ... an2 an2+1 ... .
* 5. ,
* 1, 2,¼ , n , ¼ * !
a12 = a23 = ... = ann+1 = ... .
+ ,
%. #
1 :
a1m × a2k2 ×...× ankn (m = 0,1, 2, ... ki = 0, 1,... i) .
72
* |
6. , |
|
* |
|||
1, 2,¼ , n , ¼ |
! a3 |
= a |
2 |
= a3 |
= a2 |
= .... |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
9 %, * ,
. # 1:
am × ak2 |
× ak3 |
×...× akn |
( k |
i |
= 0,1 i |
k |
i |
= 0,1, 2 |
|
|
1 |
2 |
3 |
n |
|
|
|
|
|
||
i).
* 7. / * a b
* ! a2=b2 ± 1
, * . (,
1 , . * 8. $ *
an, nÎN, * ! a2 |
= a2 |
(n ³ 2). $ |
n |
1 |
|
, * |
. , |
|
1 a1m × a2k2 × a3k3 ×...× ankn ( ki = 0,1) .
4% .
* 7. $ # ! 2
#4 :
1)! ± ;
2)2 ! .%
;
3)! , 2
* ;
4)! , 2 .%
. $ ,
*.
3.
.
! , ". $ )
!. * 1,2,¼ , n. $ ) 5 ! ) { 1, 2,¼ , n} ±
) 1. !
|
1 |
|
|
|
|||
« » |
) |
a = ak1 |
× ak2 |
×...× akn |
( k |
i |
- |
|
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
). $), ) )
) . )
!.
73
$) , 1
) ) ):
(*) a = a1ki1 × a2ki2 ×...× ankin ( kij ³ 0, iÎN).
. |
|
|
j (1 ≤ j ≤ n) , |
kij |
|
! . $ |
|
*, ) , k1 < k11 < k21 < ... < ki1 < ...
(*). . (ki2 ,... , kin ), i N, . $1
* |
|
j (2 ≤ j ≤ n) , |
|
kij |
||
|
. |
# |
!, , (*) |
|||
k2 < k12 < k22 < ... < ki2 < .... |
) , |
|||||
i |
(*), kij > k j |
|
||||
j = 1, 2, ..., n , a = ak1 × ak2 ×... × akn . |
||||||
4. :# |
1 |
2 |
n |
|
||
|
|
|
||||
% #4 * ..
9 0 [19. +. 2,
9.18].
+ N0
. %
( ), ) 1 ¹1.
, a: N0 ® ( ), a(k)= k,
a(m+n)=a(m)a(n) m, nÎN0. 8 -
, 1 . $1, N0 [10, . 17±18], ( ) ).
* 8. $ '
% , * * 2
4, . . 4
.
/. " ! B '
% , '
!, | B, | .
% N: 3®2, 5®3, 7®5,¼ , pn+1®pn,¼ ±
) %. . ,
), ) 1 % N,
%.
- % *
.
74
I.$ N\{p} N\{q} %
p q.
II.nN ,
n, 1. $ mN nN
% , m=n.
III.0 n N(n) ±
³ n 1. + N(m) N(n) % , m n
, . .
) )
( ) * ). . ,
N(12)@N(18), N(12) N(24) %.
$ . $ . 1. $ , 1)±5)
*
.
2.# !
?
3.0 ) ! 1)±8).
4.$ . 0 . #.
5.$), *
: /1= , / =1, a/ c Ûa/c=b, k(a/b)=ka/b, ac/bc=a/b, (a/b)(c/d)=ac/bd, (a/b)/c=a/bc, a/(b/c)=ac/b.
6., ) ) 1 ):
* [a,b] * [ac,bc] cÎ!.
7.0 ), ) ) 6 d).
8.$ , 1
1, , . #.
9.) )?
10.0 ) ) 2.
11.$ ,
), 1 .
12.0 ) (4) 1.
13.$ %?
14.. 3 1, * . 0.
15.$),
*.
16.0 ) ) 6 ( ).
17.$ 4±8.
18.0 ) ) 7 ( ).
75
19./ A B -',
% ) . 4
-% * :
%, ), ?
20.- : %
-%?
21./ ,
1 1.
) . $
, * ).
22.0 ) 8 .
23.$ ) I±III % .
24.0 % n
nN+1 * . #
mN+1 nN+1 %?
25.#
?
26.% )
?
27.0 ),
%
, ) % .
28.$),
) ( )
, 1
) ) ( , )
.
29.$),
% .
30.# ! 1 ,
* X (
* #4 *), ) ) X
B 1 )
% A → B. 0 ),
± 1 (
1).
31.# *
% : %,
, ), ?
76
32.0 ), ,
) * 1, .
) % ,
) , , ,
) ?
33.)
) 1 ( )? .,
) J !
!, abÎJ Î! bÎJ.
34.$),
( 1) 1 ,
.
( ""
$ . 2.5.
; % ( %# )
1¹0 (ab=0
a=0 b=0).
* " R – ". . ) I R R, a+bÎI arÎI a, bÎI rÎR. - I¹R (1, 1ÏI). 4 I R , abÎI aÎI
bÎI a, bÎR. - aR={ar: r ÎR}
, ) 1 aÎR. , ) R
, R % * . 9 aÎR , ab=1 b ÎR,
a a-1. 1
R ) ±
R.
$ a, b ÎR. 9 b 1 a R,
* 1 c ÎR, a = bc; , b|a. - ,
b|a $cÎR a=bc. |
(1) |
& ), a b, a b. 9 c
a b. R
! « » |, * *
( a, b, d, r, s ÎR):
77
1.a|a (%).
2.d|b, b|a d|a ( ).
3.0 ± 1 R, *
1.
4.1 ± 1
1 R.
5.b|a br|ar ( r¹0 ) b|ar.
6., % (1) b¹0, c
( c=a/b).
7.a|b, b|a Û a=bu 1 u ÎR;
1 a b (a ~ b).
8.b|a ÛaRÍbR, a ~ b ÛaR=bR.
9.d|a, d|b d|(ar+bs).
10.aR+bR=dR Ûd . 0(a, b), . . d 1 a b
* .
11.aRÇbR=kR Ûk=. #(a, b), . . k a b
* .
( aR+bR={ar+bs: |
r, s ÎR}. , |
a, bÎR |
|
aR + bR , |
R |
% |
. |
# " ± 1 , 1 a b
. 0, ar + bs (
. 0). # R ,
) ). # ± 1
".
4 ! !
. $ R I. 9 a b R # I,
a±b ÎI. + , R ! ,
* * n *
1 R.
. "
/ R , *
% j: R\{0}® NÈ{0}, a b ¹ 0 R
q, r ÎR,
a=bq+r, r=0 j(r)< j(b). |
(2) |
78
*. 9. # Z j = | |.
10.# P[x], P ± , j = deg (deg f ±
fÎP[x]).
11.# Z[i] α=a+bi (a, bÎZ). (
j(α)=n(α)=a2+b2 ± α.
P[x] a b¹0 ( ) q r ( . (2)) . (,
1 .
Z r ) r-|b|< 0.
Z[i] (q, r)
1 4
. α β ¹0 |
|
|
|
|
||||||||
Z[i] |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
α β ÎQ[i]. : α β |
b+1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
(), |
|
|
) |
|
|
α /β |
|
|||||
|
|
|
b |
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( , b), (a, b+1), |
|
(a+1, b+1) |
|
|
|
|
|
|||||
(a+1, b), a, bÎZ. |
0 |
a |
a+1 * |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|α β -q|= = |
n(α β − q) |
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
q=x+yi (x=a +1, y=b b+1) |
||||||||||||
|
|
|
< 1. r=α-βqÎZ[i]. |
|||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
,
n(r)=n((α
β − q )β)=n(α
β − q )n(β)< n(β).
9 . , α
β
, . . α
β =(a+ 12 )+(b+ 12 )i,
q ) .
12.$ , *
. + { a + b |
- 19 |
: a, b ± |
2 |
|
|
} [10]. |
|
|
79
5. :# % % *
.
0 [4, 8, 9, 11].
/"
$ p ± 1 R. 9 p , p|ab p|a p|b
a, bÎR. ' , 1 p
pR R. 9 p ,
! 1
p 1 (p=ab a b). $ 1 ; .
/ R ' %,
1 a
1 R,
). 0 1 a )
a = u p1k1 × p2k2 × ... × pnkn , u ±
1, p1, p2, ¼ , pn ±
1, k1, k2, ...., kn ÎN.
. 3. %
) . !
~ 1
R 1 R,
* %- . ,
R %, %- R /~
( . [3, 9]). % . 0 . #
1
), 1 .
6. 1 % * ' %.
7. 1 % % *
* ' % % ' %.
0 6 7 ) [8, 9]. -
5 6 % .
8. $ # % R 2
#4 :
1) # 2 R # -$;
80