Основные структуры классической математики

f( x )= an xn + ... + a1 x + a0 = an xn + ... + a1 x + a0 =

= an xn + ... + a1x + a0 = f = 0 = 0 .

- , )

1%% P

P . $ 1

Zp !

x pn − x Zp[x]. !

K P ± ) x pn − x Zp. +

* & GF(pn).

2. $ # * p % n 4 , 4 pn 2.

$ F ± , * q=pn 1. # ) ,

1 F ) ϕ= xq − x Zp[x]. $

12 % 2.3 F

, . . 1 F

1 α F. 9 α

q-1 ϕ(α)=0. (, F ) Zp 1 α, Zp, . .

! Zp(α).

$) f Zp[x] ± 1 ! )

m, α. ;, f

Zp. (, f ϕ . $1 ϕ f, . . f ) ϕ

).

$), 1 1, α, ¼ , αm-1 F

Zp. ' 1 1 f.

1 a F 1 1, α, ¼ , αm-1 1%%Zp. . 1%%.

. 1 a αk k

(k≤ q-1). xk

f: xk=fg+r, g, r Zp[x], r=0 r ! m. $ x=α: a=αk=f(α)g(α)+r(α)=r(α).

.

(, F Zp % Zpm ,

, pm 1. $1 m=n. 4 :

111

3. " F=GF(pn) #4

:

(1) 2 F # x pn − x ; (2) % F , #

#4 Zp n-

;

(3) F ' '-%76 % Zp[x]

f×Zp[x], Zp f n- .

- 2 3

/. $ # * p % n 4 n- Zp.

Zp[x] x pn − x .

4. :# GF(pn) ' .

0, F, F¢ ± * pn f=xn+an-1xn-1+ ¼ +a1x+a0 Zp[x] ± ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ .(1)

Zp n. ;

x pn − x , f α F β F¢. $ ! 1, α, ¼ , αn-1 (1, β, ¼ , βn-1)

F (F¢) Zp. $1 ) F → F¢

c0+c1α+ ¼ +cn-1αn-1→ c0+c1β+ ¼ +cn-1βn-1 (c0, c1, ¼ , cn-1 Zp)

* % F F¢. ( ,

) 1 F ( F¢),

1 1, α, ¼ , αn-1 (1, β, ¼ , βn-1), 1 αn (βn) 1

αn=-a0±a1α± ¼ ±an-1αn-1 ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ (2) ( , βn=-a0±a1β± ¼ ±an-1βn-1).

- & GF(pn). -* Zp (1) n- .

α 1, * ! (2). $ F={c0+c1α+ ¼ +cn-1αn-1: c0, c1, ¼ , cn-1 Zp}. 9

) F Zp

) α (2).

76 - &. 1893 .

, .

112

GF(pn) ± %

pn 1.

*. $ 9 1. $ 9=32,

! Z3={0, 1, 2} ( ) 2. 9 GF(9) ) ) a+ba a, bÎ Z3. 9 a ) !

Z3[x]

2. $! ) x2+1.

Z3, Z3. + )

) a2=-1=2. 9 GF(9) )

* ("a, b, c, d=0, 1, 2):

(a+ba)+(c+da) = (a+c)+(b+d)a (a+ba)×(c+da) = (ac+2bd)+(ad+bc)a.

' #1

$ . 1. # 1

GF(9)? . *. 2. . :

Z3; Z5; Z2;

Z3.

3. $

Z2 8-1

%.

113

4. ) x pn − x )

Zp pn = 8, 9, 16, 25, 27.

5.0 ), GF(pm) % GF(pn)

, m n.

6.! % GF(pn). :

% GF(pn)?

7.$ 77 )

, . . . 1

[12], [22] [41].

2.6. + & % &

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)

()) Ω n- (n=0, 1, 2, ¼ ). (5) n- ( n- ) ) A

) An → A. $ n=0 %

A, * 1

) A. , (n=1) A ± 1 ) A → A.

. ! A2 → A.

) (n=3), , abc-1

.

- , A, Ω . .

Ω , « »

, ) , Ω. +, 2 . + ± 2 0, 1, 2

,

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) Q. + Ω- A * ) n-

n=0, 1, 2, ¼ . 0 , * ,

. ,

) Ω

. . Ω )

Ω- .

) ! , 1, %-

, %, Ω- .

77 0) % (1882±1948) ± .

.

114

Ω- A

) B ) A,

Ω: n- ω Ω

b1, ¼ , bn B ω(b1, ¼ , bn) B.

0 ) X Ω- A

(X) A, ) * X. ) (X)

! A, ) * X. ) X

#4 * (X).

X (X)=((X)). , (X)=A, X ) *

A.

! 1 ~ Ω- A

2 A, n- ω Ω

1 a1, ¼ , an, b1, ¼ , bn A

(a1~b1&¼ &an~bn) ω(a1, ¼ , an)~ω(b1, ¼ , bn).

$ 1 ~ Ω- A %-

) A/~ = { a : a A}

Ω- . - , ) n- ω Ω

1 a1, ¼ , an A

ω( a1, ..., an )=ω(a1, ..., an ) .

Ω- A/~, '-

A 1 ~. ) π: A → A/~, aπ=π(a)= a a A,

Ω. , ω Ω ± n-

A a1, ¼ , an A. +

π(ω(a1, ¼ , an))=ω(a1, ..., an ) =ω( a1, ..., an )=ω(a1π, ¼ , anπ).

9 , π % Ω- A %-

A/~, Ω , '.

) α: A → B Ω- A Ω- B

' Ω- , n- ω Ω 1 a1, ¼ , an A

ω(a1, ¼ , an)α=ω(a1α, ¼ , anα).

' , !

% A → B Ω- 1 A. " % Ω- '.

115

Ω- B ' Ω- A,

* % Ω- A B.

5 Ω-

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1. $ # ' α: A → B Ω- A Ω- B 4 ' β '-

A/~, ~ %. α,

B, πβ=α.

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Ω ) % Ω-

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A. ρ D

1 ρ D Ω- A.

, ρ D 1 Ω- D.

2 ( '). $ # *

C Ω- A 2 ρ A C/(ρ C) ρC/(ρ ρC).

0, ) α: C → ρC/(ρ ρC), *

) 1 c C [c]ρ=[c]ρ ρC , % C

ρC/(ρ ρC), ! ) ρ C.

1.

116

w(f1, ¼ , fn)(i)=w(f1(i), ¼ , fn(i)) ) iÎ I.

% W- ∏ Ai W- Ai.

i I

4% * W- A

%. $ (ri)i I

1 W- A r= ρi . )

i I

a: A ® ∏ A/ri, aa= ([a]ρi )i I Î A.

i I

4. - α ' W- . -. α 2 ρ. 2 '- A/ρ '

W- ∏ A/ri. 0 ρ %. , W- A

i I

' # '- A/ri.

$ A ∏ Ai W-

i I

1 , pi(A)=Ai iÎ I. 0 , 1 Ai iÎ I ) i-

1 ( ) A.

*. Z30={0, 1, 2, ¼ , 29}

30. # 1

. # Z30 A={0, 2, 4, ¼ , 28},

B={0, 3, 6, ¼ , 27} C={0, 5, 10, ¼ , 25}, %-

Z30/Aº{0, 1}=Z2, Z30/Bº{0, 1, 2}=Z3 Z30/Cº{0, 1, 2, 3, 4}=Z5.

# ) 1 Z30

AÇBÇC={0}, 2 % a Z30

Z2´Z3´Z5 % ). 5 Z30 Z2´Z3´Z5 ) 1 ± 30, a *

%: Z30 @ Z2´Z3´Z5. 9

)

118

m, n, ¼ , t: Zmn×…×t Zm×Zn× ×Zt. , )

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2.,

Ω- 1 ,

.

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Ω- 1 .

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1 ρ A ) ρC A.

5.$ ρ ± 1 Ω- A. 0 ),

1 σ A, ) * ρ, ! σ/ρ

1 A.

) 1 %-

A/ρ 1 A, ) * ρ.

6.0 1±4.

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8.$), ) 1

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. , ρ ± 1 R,

[0]ρ ± R. # ) I R

! I:

a≡ib(I) a±b I (a, b R),

* 1 R. 4 .

$ Ω- ,

).

Ω. : x, y, z, x1, x2, ¼

, * Ω- . 0 (Ω- ):

1);

2)ω ± n- 78 Ω t1, ¼ , tn

, ω(t1, ¼ , tn) ;

78 ' % . 4 .

119

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1) 2).

$ X ± ) , '.

) Ω(X) Ω- ( ) X ( % X) Ω- , #

Ω- . , 1 !.

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Ω * n-

A.

5 ( % Ω(X)). $ # Ω- A % f: X → A 4

' α: Ω(X) → A, #4 f ( . . f=α X). , Ω- A '

Ω(A)79.

! , ". $ ) α ) f

1) 2) Ω- . $ xα=xf A x X.

, ω Ω± n- tiα

t1, ¼ , tn, ω(t1, ¼ , tn)α=ω(t1α, ¼ , tnα) A.

3) ) α

Ω(X) %. ' %

Ω(X) → A, ) * f, ) α. + )

) 1A ) %

Ω- Ω(A) → A.

u=v, u, v Ω(X), ( ,

Ω-)). , x1, ¼ , xm ± , *

u, v, ! u(x1, ¼ , xm)=v(x1, ¼ , xm). &,

Ω- A u(x1, ¼ , xm)=v(x1, ¼ , xm),

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79 ( A ) .

120