Основные структуры классической математики

2) # 2 % R # -1.

9

) 3.

* 13. # Z[x] %. ,

2Z[x]+xZ[x], *

, . $ %

, * ".

* 14. # %

", %.

1 1, ) a=1 -1 b=0. (, 1 -1 ± 1 Z[ − 3 ]. $1

Z[ − 3 ] 1 a b , a=b

a=-b. ) 4=2×2=(1+ 3 i)(1±3 i). 9 2, 1+ 3 i

1±3 i Z[ − 3 ],

1. 4, Z[ − 3 ] % , , , )

1

1. - 1

'. 9 1768 ,

3 (

n> 2 xn+yn=zn ! )

n=3,

( . [11, 14]).

81

$ P ± , *

Q. # ) 1 P

, . . )

1%%. #

, * Z[x] !

1%% 1, .

) R , ) * P,

P % *

* ( P). . , Z

Q, R 7

) ! ) 1

ab, aÎA bÎB. $ ! ) R. 5 . / ,

I

; ) , 1

I

). 4. [9]. R

: a = p1p2×¼ ×pn ± ) )

R, aR = (p1R)(p2R)×¼ ×(pnR) ± . 8 [9]. " !

( ) %, #4 #

( . [2, 11]). 9 ), , % . #

%, .

9. 1 % * * . $ . [1, 2, 9 11].

5, %. - * )

83

Q2=3R+(1±5 i)R. $ ( ) P, Q1 Q2 R,

* « »,

) 1 6, ) 6R,

( ) ). 4. [4].

* 17. $ α ± , . .

, *

( , e π). Z[α],

) α. , 1 ) )

α 1%%. $1 Z[α] %

Z[x]. %, . $ . 35. 0 ) 7±11 .

36.0 ) 5.

?

38.$ 13±16.

39.$ 8.

2.3. 3 #''& $&

*

" %

, . 5

) % * % %

.

* . /,

,

) . .

.

,

n- % , *

). ; *

!, * . 1

) ! 2

. 0

1 %

( , . 0,

).

84

1 at. t n : t = nq + r, r

0, 1,¼ , n±1. $ at = (an)q×ar = 1q×ar = ar. - , a ( ) n,

(a) n:

(a) = {1, a, a2,¼ , an-1}.

4, (a)

1 a )

(a) = {¼ , a-2, a-1, 1, a, a2, a3,¼ }.

$ 1 , 1 a .

& A , A=(a) *

1 aÎA, #4 A. /

( ). ;,

(a) * * *

1 a-1. - ),

% ) ,

m n %

, m = n.

1. $ # 2 a A

# #4 :

1)2 n, #4

A;

2)ak=1 % , n k.

! , ". 4 1) !

:: #

. , n 1 a

k, ak = 1. , ak = 1 k.

k n : k=nq+r 0 £ r £ n ± 1. # !,

ar=ak=1, 1 r=0, . . n

k.

$ , *

, * .

2. :# '

Z * * , %

{2k: k Z}.

:# n- '

#4 * :

Zn = {`0,`1,`2,…,`n-1} *

# n;

86

% {1, e, e2,…, en-1} *

* n- 1, e = cos 2p/n + i×sin 2p/n;

% n-%

, 2p/n.

. * n- .

., 0, 1, ¼ , n±1, n,

j(n) % 9 j.

3. 8 ak (a) n-

#4 % , k n . 7, #4 *

n- j(n).

! , ". $ ak, kÎZ, ± - *

(a) n- . + (ak)m = a

* m, . . akm-1=1, km±1=nq

qÎZ 2) 1. 5 1

k n. , k, n . +

. 0 1=kx+ny x, yÎZ.

$1

a=akx+ny=(ak)x×(an)y=(ak)x×1y=(ak)x.

+ , 1 (a),

a, 1 ak. (, ak ± * 1 .

%-

.

4. %

. $ # % d n

4

d.

! , ". $ A=(a)

B. , B={1} ± , B=(1). "

, B ) 1 ak¹1. $ a-kÎB, B

) a |k|.

! m, amÎB. + B=(am) ±

. , (am) ÍB. , ) akÎB, ,

k m k=md+r, r=0, 1, .., m±1,

ar=ak×(am)-dÎB, ) r=0. (, ak=(am)dÎ(am). $1 B Í(am).

(a) n- . $ , !, B )

87

1 am. n k, n=md B={1, am, a2m,¼ , a(d-1)m} ± d=n/m.

( % d n. $ m=n/d * B )

(a) d. , d (a)

) ) ( ?).

5. " ' , '-

# , % .

! , ". $ A=(a) ± B ±

% . $ , *

% f A B. ' , B

) 1 f(a): ) 1 B f(ak)=f(a)k,

. . B=(f(a)).

A/B = {aB: aÎA} A

B. $

% %

% %- 1

* %. (,

%

. $ ,

% .

A=(a) ) f: Z ® A, % f(k) = ak k. $ % f

Z A. $

% A % %-

Z , 4 nZ ÍZ

n: A @ Z/nZ. , n=0, A @ Z. 5 n> 0, A @ Zn ±

n.

.

A B. .

A ´ B = {(a, b): aÎA, bÎB} 1 )

) : (a, b)×(c, d)=(ac, bd). ,

, (1, 1) )

1, (a-1, b-1) 1, (a, b).

<A ´ B, ×>,

A B.

6. $ * *

* m n ,

88

* , m n

.

! , ". $ (a) (b)

m n . 0 ) * %.

$), (a)´(b) ± * (as, bt).

+ (as, bt)i=(a, 1) (as, bt)j=(1, b) i, j. - asi=a, bti=1, asj=1 btj=b, 2)

1 si±1 sj m, ti tj±1 n. ,

m, n , ! *

p. . si±1, sj tj±1 ) p,

: s p, j p 1

p, ). 4, . 0(m, n)=1.

$%. $ m n ± . + mu+nv=1 u, v. $), 1 (a, b)

* (a)´(b). +

(ax, by)=(a, 1)x×(1, b)y x y,

, 1 (a, 1) (1, b)

(a, b). mu+nv=1,

(a, b)nv=(a1-mu, bnv)=(a, 1) (a, b)mu=(amu, b1-nv)=(1, b).

2 6 * #

':

Zm´Zn @ Zmn Û. 0(m, n) = 1.

7. + 4 d= -$(m, n) '

m- # n- .

1 '

' #4 2

d .

0 ) 4.

Zn*

1 Zn. (, `a =`b Zn 1 aºb(mod n).

8. Zn* ϕ(n).

! , ". 0 ,

`a Zn a n. , `a`b=`1, abº1(mod n),

a n. , ) a n , ab+nc=1

b, c. $ n,

`1 =`a`b +`n`c =`a`b +`0`c =`a`b.

89