Основные структуры классической математики

$ . 8. 1 Dn *

* 1 * !.

9.( * 1

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10.4 * ? . . 0 ),

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%) * : Cn,

#, 1 Dn (n³ 3)

* 1 A4, S4, 1 A5. 9 *

) R3.

(

0 ) X S(X)

) X .

+ X.

, X n 1, S(X)@Sn.

$ A X¹Æ

) X´A ® X, (x, a)®xa, * : 1) x1=x 2) x(ab)=(xa)b xÎ X, a, bÎ A.

$ A

) X. # ) 1 a A ) )

Ta: X ® X %

xTa=xa xÎ X.

1) T1=1X. . 2) 1) aÎ A xÎ X

:

x(TaTa−1 ) = (xTa )Ta−1 = (xa)Ta−1 = (xa)a−1 = x(aa−1) = x ×1 = x ,

TaTa−1 = 1X . 5, Ta−1Ta = 1X . $1 aÎ A Ta−1 = Ta−1 ) Ta , . . TaÎ S(X).

, ) T: A ® S(X)

101

aT=Ta aÎ A,

* % . , a, bÎ A

xÎ X:

x(TaTb)=(xTa)Tb=(xa)Tb=(xa)b=x(ab)=xTab.

5 1 , TaTb=Tab (ab)T=Tab=TaTb=aT×bT a, bÎ A.

- , A ) X ) %

a: A ® S(X), ) xa=x(aa)=(aa)(x) xÎ X aÎ A.

0 A ) X=A. 0 A ) A )

A: (x, a)®xaÎ A x, aÎ A. 9 a A

A Ta, x®xa xÎ A. $ 1

a, bÎ A 1Ta=a¹b=1Tb, . . Ta¹Tb. $1

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S(A).

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* A ) X. 0 xÎ X 1 aÎ A ):

Ax={bÎ A: xb=x} Xa={yÎ X: ya=y}.

' , Ax A,

2 x. 5 ) Xa X )

* a, Ta. 0 xÎ X )

xA={xa: aÎ A}Í X}

x A. 0 ) * ).

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102

(1) * X

A # X. $ * :

xA=yA Û xAÇyA ¹Æ Û $cÎ A y=xc (x, yÎ X).

$ xÎ xA, xA=yA xAÇyA ¹Æ.

$ zÎ xAÇyA zÎ X, . . z=xa z=yb

* a, bÎ A. + y=zb-1=(xa)b-1=x(ab-1).

., y=xc cÎ A. + a, bÎ A yb=xcbÎ xA xa=yc-1aÎ yA,

yAÍ xA xAÍ yA, . . xA=yA.

- , . (,

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1, [x]ρ=xA xÎ X.

(2) :# xA 4 * *

* A Ax.

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, ) 1 xa xA

) Axa. 0 , a, bÎ A xa=xb Û xab-1=x Û ab-1Î Ax Û aÎ Axb Û Axa=Axb.

(3) 0 A , # xÎ X

xA =(A:Ax)= A / Ax .

(2) ' ).

(4) 0 xA=yA A,

x, yÎ X # : Ax = Ay .

(5) $ X A :

X = (A:Ax) ±

x xA.

4 (1) (2).

* 5. $ ) X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A=(a), *

S9,

+ a=(1 6 4)(2 9)(3 5 8) A={1=1X, a, a2, a3, a4, a5}. - : A1=A3=A4=A5=A6=A8={1, a3}, A2=A9={1, a2, a4} A7=A;

103

X1=X, Xα = Xα 5 = {7}, Xα 2 = Xα 4 = {2, 7, 9} Xα 3 = X \ {2, 9}; 1A=4A=6A={1, 4, 6}, 2A=9A={2, 9}, 3A=5A=8A={3, 5, 8} 7A={7}.

, ! %

, ) )

7. 0

(A:A1)=3= {1, 4, 6} = 1A , (A:A2)=2= {2,9} = 2A ,

(A:A3)=3= {3, 5, 8} = 3A , (A:A7)=1= {7} = 7A

(A:A1)+(A:A2)+(A:A3)+(A:A7)=3+2+3+1=9= X .

4 ). $

A ), aÎ A. +

a 2 a

Za. $ A

Za=Aa={bÎ A: bab-1=a}={bÎ A: ba=ab},

* 1 A, * a. $ ) 1 A

A Z(A). / Z(A)

A, * )

1 A, * ) 1 A.

1 a

aA={bab-1: bÎ A} ±

1 ) 1 A, ) a.

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A * 2, * 2 a,

(A:Za), . . A.

0, A

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* ) ) a 1,

(3) : aA =(A:Za) aA × Za = A .

$ A ) )

. H )

aHa-1 A, ) H. 4 H AH={aÎ A: aH=Ha}Ê H

A, NH

! A, * H

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104

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* H (A:NH) NH

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A ) ) X

A, ) H. ) X

1 H. $ 3 X =(A:H)=p. $

% T: A ® S(X), aT=aHa-1 aÎ A, A

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q m. $ q³ p. $

% A/Ker T % Im T S(X). $ ' ) mqp p!, q³ p

(p-1)!, ). 4, NH=A H

A.

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A = Z(A) + (A:Za),

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105

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D4 ) X

O =168/8=21.

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* 4 ± Z4

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6 ± Z6 S3.

15.0 ), % *

8 ± 1 D4

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i2=j2=k2=-1, ij=k, jk=i, ki=j, ji=-k, kj=-i, ik=-j, 1 1 -1

) ( ). $),

H .

16. 4 % ! ,

10.

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1 % A, +, ×

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A, + ± 1 0;A, × ± 73;

71# & (1805±1865).

729 & (1811±1832) ± % , )

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107

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- , F ) pn 1,

F n=dimZ p F ± F

Zp. ,

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q ( ), . .

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, j=(x-c)ky cÎ K, yÎ K[x] k³ 2. " %

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0=j¢(c)=-1, ).

F ) j

K. $ F =q=pn. $), F

K. a, bÎ F. - aq=a bq=b. + (ab)q=aqbq=ab (a/b)q=aqb-q=ab-1=a/b b¹0. $1 ab, a/bÎ F. 0

) a+bÎ F

(a + b) pn = a pn + b pn ,

a b 1 K

) m n. $ m=1

(a + b) p = a p + pa p−1b + ... + Ckpa p−kbk + ... + pab p−1 + b p = a p + b p ,

75 ., K . P, P K,. . P ), , ) (

1) K.

109

k!

m. +

(a + b) pm+1 = (a pm + b pm ) p = (a pm ) p + (b pm ) p = a pm+1 + b pm+1

) ) (m=1).

* ! a b F,

(a + b)q = (a + b) pn = a pn + b pn = a + b ,

a+b F. , (-a)q=-a, aq=a. 0

q 1 . , ) q , p=2 + =0

K, . . ±c=c ) K.

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1 ( 4 ). $ % P # P f P[x] 4

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K 1 = 1+ J . 0 1 1 g = g+J K. 9 ,

g J=fP[x], . . g f. f

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u v P[x]. +

1 = fu + gv = f u + gv = 0u + gv = 0 + gv = gv ,

. . 1 g K.

0 ) , P ) K.

) P K, a→ a = a + J

a P. 9 )

%, a + b = a + b ab = ab a, b P. $ 1 a = 0 , a fP[x], . . a=fu u P[x],

) , u=0 a=0. $1 ! %

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) a≡ a , a P, P K.

, 1 x K )

f=anxn+ ¼ a1x+a0 P[x]:

110