Основные структуры классической математики

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30., .: ). . . ±

. 7. ± 4: 4. . - , 1983. ± 145 .

31., .. ± ": Univerzita Komenskeho, 1985 ( ). ± 303 .

32., .. II. ± ": Univerzita Komenskeho, 1988 ( ). ± 390 .

33.3 ' +. : . ± .: . , 1971. ± 440 .

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159

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36.& /. !. , , . ± .: . , 1971. ± 256 .

37.8 % . * . ± .: , 1986. ± 752 .

38.Abian A. Boolean rings. ± Boston: Branded Press, 1976. ± 394 p.

39.Stone M. The theory of representations the Boolean algebras // Trans. Amer. Math. Soc. ± 1936. ± V. 40. ± P. 37±111.

40.Stone M. Applications of the theory of Boolean rings to general topology // Trans. Amer. Math. Soc. ± 1937. ± V. 41. ± < 3. ± P. 375±481.

41.Stone M. Algebraic characterization of special Boolean rings // Fund. Math. ± 1937. ± V. 29. ± P. 223±303.

42.Rosenstein J. G. Linear orderings. ± New York: Academic Press,

1982.

160