Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Основные структуры классической математики

.pdf
Скачиваний:
24
Добавлен:
01.05.2015
Размер:
2.59 Mб
Скачать

12. % #

.

! , ". $ A ±

P, ) * n 1. . , A

1 n- . 0 d

n y(d) 1 A,

* d.

 

1,

:

n=y(1)+¼ +y(d)+¼ +y(n),

 

 

 

d n.

 

 

d 1 aÎA d,

. 9 a ) B

d A, ) 1 xd=1 ( . 1). 8 ! , xd=1 P

d !. $1 1 d A ) B ±

j(d) 3. (, y(d) j(d) 0. 4 y(d) £ j(d)

y(d)=n ) & , y(d)=j(d)

d n. , y(n)=j(n),

* A 1 n.

., Zp, p ± ,

p±1. . , a,

n,

# n, j(n) !

k,

akº1(mod n). + 8 , *

n 1

Zn*. n, *

: 2, 4, 8, pk 2pk, p )

, k ± .

- , 12 3 * :

13. # # p 4

ϕ(p-1) * ( %# #

p).

0 ) % ' 8

.

14. ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n) # * *

% * m n.

! , " : j(mn)=½Zmn*½=½(Zm´Zn)*½=½Zm*´Zn*½=½Zm*½×½Zn*½=j(m)j(n).

91

( 8 % 6. # ), ,

. ( ½½ 1

* ).

15 ( *). 0 m, n ±

% , # * * a b

, a # m

b # n.

! , ". $ . +

! xºa(mod m) xºb(mod n). 1 (`a,`b) Zm´Zn. $

6 1 * (`1,`1). $1 (`a,`b)=k(`1,`1)=(`k,`k)

k< mn. m n

.

-

1.# * ? -

? # %?

& Z5*, Z6*, Z7*, Z8*, Z9*, Z10*, Z12*.

$ Z6 Z15, Z7 Z16, Z Z, Z Zn. 5 Q .

)

.

& . & .

2. . 1 . 1 . 3. . %- 1 .

4.:

1 Zn? 4 n = 2, 3, 4, 5.

5.$

?

6.0 ),

) .

7.0 ),

) % .

8.0

d 4 ( ).

92

9.: 1

n? # )

?

10.: *

n- ?

11.. 1

.

12.# %- ?

13.4 %- ( )

?

14.$), 1 a n-

an=1.

15.$ 1 a, b

m n. 0 ), ab=ba 1 ab

, . #(m, n). 1 * ?

16.$ a, b, c ± 1 . $ ,

* 1 : a a-1; abba; aba-1 b; abc bca. 1 1 abc acb?

17., 1 2,

. 0 ).

18., * 1 2,

) 1 . 0 ).

19.$),

) 1 2.

20.(, 1 . )

p * 1 p. $ # !

.

21.0 ),

) 1 )

1.

22.0 6,

% Zmn

Zm Zn.

23.* 6 ).

24.7 4.

25.14.

26.-% Z12×Z72 Z18×Z48?

27.! % Z Zn, .

93

28.) % Zm

Zn. .

). # ? - ! .

29.: %

(% ) Zn,

? 5 Z.

30.* ) %

?

31.(a+b)pºap+bp(mod p)

p a, b.

32.- * , )

.

33.- , ?

34.0 ), *

p> 1: 1) p½ab p½a p½b

a, b; 2) Zp .

35. . 24- 1.

36.# %

? 0 ) .

) ?

38.4% ) ,

.

6.

2.4.2 #''& '

)

$ M={1, 2, ¼ , n} ± ) n . : Sn=S(M) ) )

M ® M. ) Sn

, n-

. , ,

) , )

) 1M, 1 aÎ Sn

a-1. $ Sn

n!=1×2×¼ ×(n-1)n=(n-1)!n.

$ a n-

94

1

2

...

n

,

(*)

> = i

i

...

i

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

n

 

 

ik=ka k=1, 2, ¼ , n.

0 6-

 

1

2

3

4

5

6

 

 

> =

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

5

1

6

3

 

 

 

 

 

 

1

2

3

4

5

6

 

? =

 

 

 

 

 

 

.

 

2

5

4

6

1

3

 

 

 

. ab, ba, a-1 b-1:

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

,

>? =

 

 

 

 

 

 

 

, ?> =

 

 

 

 

 

 

 

 

6

5

1

2

3

4

 

 

2

6

1

3

4

5

 

 

 

 

 

 

 

>−1

1

2

3

4

5

6

 

?−1

1

2

3

4

5

6

=

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

.

 

 

4

2

6

1

3

5

 

 

 

 

5

1

6

3

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

# ab : 1a=4 4b=6 1(ab)=6 . . $ 2b=5, 5b-1=2, . . , ab¹ba. * ,

n³ 3 Sn .

Sn. : M .

Sn. 4 i a-4 (a- ),

ii (ia=i). $ a k (k³ 2), a

k * i1, i2, ¼ , ik, ,

i1a=i2, i2a=i3, ¼ , ik-1a=ik, ika=i1.

+ a=(i1 i2 ¼ ik) k. / 2 . +, !

a ) 2

( ) a=(1 4)(3 5 6). / Sn , *

* .

.

a (*) ) . &,

ik im #, ik> im k< m. $ a

( ), )

( ). 0 aÎ Sn

1, > , s(>) =

-1, > .

. * % n- .

95

1.' )

,

).

2.0

(i1 i2 ¼ ik)=(i1 i2)(i1 i3)×¼ ×(i1 ik).

3..

4.s(at)=-s(a) a t Sn.

5., a k , s(a)=(-1)k. (, a Û a

Û ) a

.

6.( s %:

s(ab)=s(a)s(b) a, Sn.

+ , s: Sn ® {-1, 1} ± % ,

Ker s=An ) n- . - An

Sn. & An

n- . $ n³ 2 An

n!/2 % Sn/An {-1, 1}. 1

.

1. $ # % n³ 2 s

' Sn % #

{-1, 1}, An.

1±3 , * )

n- ) #4 * Sn: )

n- ; ) ) n- ;

) (1 2), (1 3), ¼ , (1 n).

(i j)(i k)=(i j k) (i j)(k m)=(i m j)(j k m)

i, j, k, mÎ M ) 5

3 * An.

$ . 1. 0 ) ) 1±3. (, % 2

, % 3 *

%.

2.0 ) ) 4.

3.) 4 ) 5 6.

4.: (i1 i2 ¼ ik)-1?

k m .

6., A4 6- .

96

7. $ , A5

, . . .

* ( )

%. $ F ± %, )

S(F) ± ) )

65 , ) * F (4 F).

( ) )

S(F) , )

4 ' F. : ! * S(F),

% F. , F O, S(F)

* O. , F={A, B}, S(F) ) * AB

) , * A B66.

$ F ± n-1 ) , n³ 3 () ) n !). ( % F (!) 1, 2, ¼ , n. + ) * f % F *

Sn: ka=m Û ) f (!)

k (!) m. $ 1

*

* . $1

% ) (2) S(F)

Sn.

*. 1. F, !

1, 2 3. $ a ±

F 1200 . + a2 2400, a3=1F ± )

*. bk F

, * k (k=1, 2, 3). $ ,

S(F)={1, a, a2, b1, b2, b3}. - 1 *.

65 9 ), * ,

).

66 ) ) ), * ) ) % F. +

, S({O}) 1, S({A, B}) ± 1 .

97

2

1

3

1

3

3

2

2

1

1F

 

 

α

 

α2

3

2

1

 

 

1

2

3

1

2

3

β1

 

β2

 

 

β3

+ ) * )

. $ α - (1 2 3).

0 α2→(1 3 2), β1→(2 3), β2→(1 3) β3→(1 2). . αβ12 ,

, (1 2 3)(2 3)=(1 3). $ % S(F) S3. &

S(F) * 1 α, β1

* ! α3=1, β12=1 αβ11α2 ( . [14]).

2. $ F ± , * . ( ! 1, 2, 3, 4. , *

) 1F, α 1800

β γ.

98

 

 

2

 

α

β

 

 

1

 

3

γ4

- : β→(2 4), γ→(1 3) α=βγ→(2 4)(1 3). $ )

S4. 9

1 167.

% Z2×Z2 %: 1F→(0, 0), α→(1, 1), β→(0, 1), γ→(1, 0). + #1 # :

 

1

α

β

γ

1

1

α

β

γ

α

α

1

γ

β

β

β

γ

1

α

γ

γ

β

α

1

(, # * α,

β* ! α2=1, β2=1 αβ=βα.

3.& * n- 2n

1 2 Dn. , D3 S3

* 1 D4,

% S4 24.

4. * S(F)

1 F, ! 1, 2, 3, 4. ;, 12 1, *

1 « » ( ) 1 ). 1 *

* 1.

67 # (1849±1925).

9 # -

± * (%%, , )).

99

1

 

α2, α22

 

3

2

β1

 

4

+ 1 F : « »,

* ! 1 )

, , * )

1. , * ! k 1

(k=1, 2, 3, 4), ) *

( ) ) ± αk αk2. $ β1 ±

1800 , * 1±2 3±4; β2 ±

, 1±3; β3 ± ,

1±4. +

S(F)={1F, α1, α12, α2, α22, α3, α32, α4, α42, β1, β2, β3}.

4 * S(F)

!: 1F) ,

α1→(2 3 4),

α12→(2 4

3),

α2→(1 4 3),

α22→(1 3 4),

α3→(1 2 4),

α32→(1 4

2),

α4→(1 3

2),

α42→(1 2 3),

β1→(1 2)(3 4),

β2→(1 3)(2 4), β3→(1 4)(2

3).

- ,

* 1 %

A4.

.. 4 *

1 F ± ) , ) * F .

! ) , *

1.

S4. 4 * * ! )

, * (1 2 3 4), (1 2 4 3), (1 3 2 4), (1 3 4 2), (1 4 2 3) (1 4 3 2). 9 *

* 1 ,

1 )

. + , )

1 % S4.

100