Основные структуры классической математики
.pdf16.1 1., !. + ). – .:
, 1970. – 416 .
17.% !. (. 5 . – .: . , 1970. – 392 .
18.-4 : 2 . / $ *. . '. 5. 4. –
.: . , 1990. – +. 1. – 592 .; 1991. – +. 2. – 480 .
19.+ :. !. 9 * . – .: . , 1983. – 272 .
20.+ . :. II. +
). – .: . , 1982. – 376 .
21.3 %!., -)(. ). –
.: , 1966. – 556 .
22.) ' 3. + ). – .: # #, 2006. –
304 .
23.; . &., & % ' 0. ".
. – .: . , 1974. – 256 .
24.&/. !. . 4. $ . – .: . , 1971. – 256 .
51
2. % &
& –
#,
#.
1
– .
2.1. 2 #'' &, ' # #''&, #''&
' . '
) ! .
( ) ) A
) w: A´A ® A. 0 ,
w ) A¹Æ ,
) (a, b) 1 ) A
1 w(a, b)=awb 1 ) ) A.
$ ) %
), , ) ) R
)
. 2, ,
)
B(X). . )
2, 2, 1 )
. # , 1 )
) .
. ) A
w A, w 50. & A, w ,
w : awb=bwa a, bÎ A.
& A, w , w
: (awb)wc=aw(bwc) a, b, Î A.
9 e A, w %,
awe=a ewa=a aÎ A. , ( ) ), 1 e ( ) %
2 .
50 , ω %, A, ω
A.
52
A, ω , * 1 e1 1 e2, *
1 e1=e2. 0, e1=e1ωe2=e2.
$ , * 1,
.
$ A, ω 1 e. , A
ab=e, 1 a (1 b)
( ) ( )
1 b ( 1 a).
$), 1 a A, ω
, . . aωb=e cωa=e
b, c A. +
b=eωb=(cωa)ωb=cω(aωb)=cωe=c.
$1 aωb=bωa=e; 1 a , 1 b – a. 9 a b
, , .
., , ) 1
.
) α: A → B A, ω B,
' , α ,. . (aω )α=aα α51 a, c A.
) , *
%, ' . &A, ω B, ', ) *
%, : A, ω B, .
$ α: A, ω → B, – % . ,
aα=a∙, (aωc)∙=a∙ c∙ a, !. 4 ↔ ∙ , B )
!. ) α-1:B → !
% . # % α: ! → B β: B → C – % αβ: ! → +. # ,
* ) %. 4,
! % ! 1
) .
-%
, . . , )
51 : α(aω )=α(a)α( ).
53
. +, , %
, .
% !, *
, * . , %, ,
, % . 0 % *
,
, . $ % )
. $), %
. $ % α
A, ω B, 52.
1 b, d B. a, c A: b=aα d=cα. + b d=aαcα=(aωc)α=(cωa)α=cαaα=d b.
*. 1. 1 {a}, ω ,
aωa=a, . 1
% ) .
2. . ) N
ω : aωb=ab. 9 . : 1
1 53
N, ω .
3. ) Q
ω, % aωb=(a+b)/2. $
Q, ω , *
* 1.
: aωa=a a Q.
4. . ) A
ω ) aωb=a ( a, b A). $
A, ω , * . ) 1
) 1. , A )
1, . 0 ) aωb=b
.
52$ 1 B, ' A, ω .
539 a A, ω ( ) , aωx=a (xωa=a)
x A.
54
$ . 1. 0 ), A, w
4 :
( ) w
1 a1, a2, … , an A . 0 ) 1 n.
2. $), )
n 1 2n–2 n–1, n (n³ 2). $ n=2 1 ,
n=3 – 2 , n=4 – 5 ,
n=5 – 14 . . $
1.
3.*
1. 4%
1 )
.
4.4 ), ! %
! 1 .
5.$), % .
6.$ 1
.
– %
. $
w
.
A, w |
" |
|
|
|
|
w |
) × |
) + |
awb |
a×b=ab |
a+b |
1 |
1, |
1, |
|
1: |
0: |
|
"a a×1=1×a=a |
"a a+0=0+a=a |
|
a-1: |
) –a: |
1 a |
aa-1=a-1a=1 |
a+(-a)=(-a)+a=0 |
|
|
* |
1 |
|
) |
: |
an |
|
waw… wa – 1 a |
na |
|
n (nÎ N) |
|
|
55
( %
# ! 1 )
1254. 4 *
! – % – 1
. + #1 {a, b}, ω ) :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
aωa |
aωb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
bωa |
bωb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
24=16. - : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
a |
b |
2 |
|
a |
b |
3 |
|
|
a |
b |
4 |
|
a |
b |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
a |
|
a |
a |
|
|
a |
|
a |
a |
|
|
|
a |
|
|
a |
a |
|
|
a |
|
a |
a |
||
b |
|
a |
a |
|
b |
|
a |
b |
|
|
b |
|
|
b |
a |
b |
|
b |
b |
||||||
5 |
|
a |
b |
6 |
|
a |
b |
7 |
|
|
a |
b |
8 |
|
a |
b |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
a |
|
a |
b |
|
|
a |
|
a |
b |
|
|
|
a |
|
|
a |
b |
|
|
a |
|
a |
b |
||
b |
|
a |
a |
|
b |
|
a |
b |
|
|
b |
|
|
b |
a |
b |
|
b |
b |
||||||
9 |
|
a |
b |
10 |
|
a |
b |
11 |
|
|
a |
b |
12 |
|
a |
b |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
a |
|
b |
a |
|
|
a |
|
b |
a |
|
|
|
a |
|
|
b |
a |
|
|
a |
|
b |
a |
||
b |
|
a |
a |
|
b |
|
a |
b |
|
|
b |
|
|
b |
a |
b |
|
b |
b |
||||||
13 |
|
a |
b |
14 |
|
a |
b |
15 |
|
|
a |
b |
16 |
|
a |
b |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
a |
|
b |
b |
|
|
a |
|
b |
b |
|
|
|
a |
|
|
b |
b |
|
|
a |
|
b |
b |
||
b |
|
a |
a |
|
b |
|
a |
b |
|
|
b |
|
|
b |
a |
b |
|
b |
b |
||||||
|
|
4 16 |
|
|
|
|
% ) α: a→b, b→a. . ,
% , 1 16. 9
1 16, 1 16.
. % .
54 5 #1 (1821–1895),
. 8-
– #1.
56
. ( ), % 2. - . 0
1 x, yÎ {a, b} )
xy=a(a-1(x)×a-1(y))=(xa-1×ya-1)a,
) 2. - , : aa=(aa-1×aa-1)a=(bb)a=ba=a, ab=(ba)a=aa=b, ba=(ab)a=aa=b
bb=(aa)a=aa=b. 8. (, 2@8.
5 , 3@12, 4@4, 5@14, 6@6, 7@10, 9@15, 11@11 13@13.
10 % 1
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13. . # (ab=ba) 1, 2, 7 9. 1 1 a , . & 2 b; %
{0, 1}. & 3 a
, b×b2=ba=b¹a=ab=b2×b. & 4 –
. 5, * , 1 a . & 6 –
. & 7 , %
{-1, 1}, × ) a®1, b®-1. & 9, 11 13
. + , 10 1
,
, . $ . 7. . , 5, 9,
11, 13 .
8.# #1 % 1
?
9.0 ), *
e (e2=e).
10. . 1 ) ) 39=19683
. 4 % * 24
155. 0 ) 1,
#1. *
1 .
)
55 (, 188 % 1 , 1915
1 28634 ! 1 [33, . 2, . 66].
57
. 0 !
2.3 2.4.
" . " A, )
:
1.5: "a, b, cÎ A (ab)c=a(bc).
2.4 * : $1Î A "aÎ A a×1=1×a=a.
3.1: "aÎ A $a-1Î A aa-1=a-1a=156.
am 1 a (mÎ Z):
|
am , m > 0, |
|
1, m = 0, |
am = |
(a−1)−m , m < 0. $ ! ' :
(1)* ;
(2): ab=ac b=c ( ),
ba=ca b=c ( );
(3)e2=e e=1 (1 – );
(4)(a-1)-1=a;
(5)(a1a2×… ×an)-1=an-1×… ×a2-1a1-1 ("nÎ N);
(6)(an)-1=(a-1)n ("nÎ N);
(7)(am)n=amn ("m, nÎ Z);
(8)aman=am+n ("m, nÎ Z).
$ , ' . 0 A * :
1)A – ;
2)A ! ax=b ya=b ("a, bÎ A);
3)A ! ax=b ya=b;
4)A ! ax=b *
;
5)A ! ax=b * ;
6)A * e,
! ax=e;
7)A A !
ax=b;
56 ) , 1 1 1 a
) 1 a-1.
58
8)A ,
! ax=b;
9)A ( . . A
! axa=a);
10)A .
, 1)–3), 9) 10) , 4)–6)
, 7) 8) ) « » . $1 1 )
4)–8). ! ax=b
, aA=A ) aÎ A. $ . 11. 0 ) (1)–(8).
12.$),
* .
13.0 ) 1 1)–10) .
14.$ , A
, A ! ax=b
c¹d A * 1 uÎ A, cu¹du.
15.# ) *
A , A :
) A !
ax=b;
) A ;
) A , ;) A .
. 1. 0 –
–
). 0, ) {1, 2, 4, … , 2n, … }
{2k: kÎ Z}
). - A, ×
57, . . ) « )»,
) .
) 1,
, -1
1, )
, ): (xy)z=x(yz), x×1=1×x=x, xx-1=x-1x=1. +
*.
57 . 2.6.
59
. ) H A A,
H ) × * -1. $ A
A.
( % H A. ) aH={ah: hÎ H}, aÎ A, ( ) 58 A
H. " ! ~ A: a~b aH=bH,
1 A, ) )
aH. $1 )
A %-)
A/H=A/~ ={aH: aÎ A}.
0 1 aÎ A ) H ® aH, *
) 1 hÎ 1 ah, . 4,
H H = aH . *
) A/H H A
(A:H). 1
. $ * .
59. H #
A A, ,
:
A = H ×(A:H).
2 a A !
n, , an=1; ) an¹1 nÎ N, a
1 .
$ 1 a A ( ) n. +,
, ) {1, a, a2, … , an-1} n-1
A.
/ . # 2
.
$ H A % ,
aH=Ha aÎ A. 1 %-) A/H )
: aH×bH=abH (a, bÎ A).
'- A/H A H.
H A
) p: A ® A/H A %- A/H,
%: ap=aH aÎ A. $ a, bÎ A
58) Ha ) H.
593 % ' )(1736–1813) – % .
60