Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Основные структуры классической математики

.pdf
Скачиваний:
24
Добавлен:
01.05.2015
Размер:
2.59 Mб
Скачать

3. , ± ) X, m(X) !

m.

0, m(Æ)=m(Æ)+m(Æ), m(Æ)=0. 5

AÍ B B=AÈ(B\A) AÇ(B\A)=Æ,

m(A)£ m(B). . , 3

2.

X σ- X,

5 )

2.

m: ®R+,

s- X, -

,

* ) AnÎ (nÎ N)

m(A1ÈA2ȼ ÈAnȼ )=m(A1)+m(A2)+¼ +m(An)+¼ .

*. 1. 0 ).

2. 7 m x0 s- B(X) )

) X %: "AÎ B(X)

1, x0 A m(A)= 0, x0 A.

, m {0, 1}- .

3. $ X={x1, x2, ¼ , xn}, r1, r2, ¼ , rn ±

mi ± xi B(X)

i=1, 2, ¼ , n. + m=r1m1+r2m2+¼ +rnmn X.

4. 85 R. )

a£ b (a, bÎ R), ) ;

b±a. # 2 2

( *) )

3. 3 m )

* 2

). ' , 3 )

) R, m R. )

) R.

5.! 3 * !

) R. : ) 86,

) ) R

2 . ", ,

2 2 A

85# 3 (1838±1922) ± % ( , %).

86$ * % 9 " (1871±1956).

181

). # ) A

[a, b], a, bÎ R a< b, « »,

* 2 )

* b±a. )

. )

) )

R, 2

87.

) . 4. [10, 11].

&

2. %#

 

)

 

) X=U p:

®R+, , p(U)=188. $

1 )

, ± .

0

A

0£ p(A)£ 1

 

 

 

. 4 A

( ), p(A)=1 (p(A)=0).

4 U , Æ ).

-) . - ,

( ) A B -)

A+B=AÈB (AB=AÇB), A=U\A

A. $ .

0, A B , AB=Æ.

p A B

p(A+B)=p(A)+p(B). - )

AÈB=AÈ(B\A), AÇ(B\A)=Æ, B=(AÇB)È(B\A) (AÇB)Ç(B\A)=Æ,

: p(A+B)=p(A)+p(Bp(AB).

$ %# p(A/B) A

B ! p(AB)/p(B)89. (, p(AB)=p(A/B)p(B)=p(B/A)p(A) A B.

4 A B , p(AB)=p(A)p(B).

. A B p(A)=p(A/B),

p(B)=p(B/A).

87+ ) σ-% ).

88μ μ(X)=1 .

89$ p(B)=0 0/0, )

- .

182

$ H1, H2,¼ , Hk ± 90,

) A, . . AÍ H1ÈH2ȼ ÈHk. + * ' :

p(A)=p(H1)p(A/H1)+p(H2)p(A/H2)+¼ +p(Hk)p(A/Hk).

$ 1 p(Hi/A)=p(Hi)p(A/Hi)/p(A), i=1, 2,¼ , k p(A)

% ,

' 91.

. .

U n-1 ), =B(U). 1

) {x} U 2 ;

, ,

1/n. , A ± m-1 ) U,

A p(A)=m/n. 4 ) 1 ,

1 x U , x )

A, m/n ± !

A ) (1

). +,

(2, 4, 6) 3/6=1/2. ', " %%92 20000

10012 « ». $ %

« », 10012/20000=0,5006 , 1/2, . .

1 . $ !

, ) ) , %

, % ", " . .

* 6. $ %

% ". $),

16 1 , ), U={1, 2, 3, ¼ 15, 16}. -

H1={9, 10, 13, 14}, H2={1, 5}, H3={2, 3, 4, 6, 7, 8}, H4={11, 12, 15, 16}

A={6, 7, 8, 10, 11, 12}. $

: p(A)=6/16=3/8, p(H1)=p(H4)=1/4, p(H2)=1/8 p(H3)=3/8.

A : p(A/H1)=p(AH1)/p(H1)=1/4, p(A/H2)=0, p(A/H3)=1/2=p(A/H4). $ %

p(A)=1/4×1/4+1/8×0+3/8×1/2+1/4×1/2=3/8, .

90. A.

91+ " (1702±1761) ± .

923 ) " %% (1707±1788) ± % ,

, .

183

$ % " p(H4/A)=p(H4)p(A/H4)/p(A)=(1/2×1/4)/(3/8)=1/3,

) p(H4/A)=2/6=1/3.

3

2

!

1 4

.

, OX, OY

y=2 x=2. )

(x±1)2+(y±1)2=1.

y

 

 

 

 

 

2

 

 

 

s

S=4

1

 

 

 

 

 

 

0

1

2

x

$* S=4, * s=p.

M(x, y), . .

0£ x£ 2 0£ y£ 2. # p

A, M ) 1

(1, 1)? - , p=s/S. -

1 A ! s/S *

«*» % * %,

« » . ! p(A)=p/4. 9 p. - ,

! n ( )

m . p(A)

) m/n ( !

n, ) m/n p(A)). $1 p=4p(A)»4m/n. +

184

) -1 (

).

* 7. 7 . 0

) 12 . $ 1 ! ! ) 15 , . :

, )

?

.. $ ± 0,

± 1 1. x ( )

, y ± : 0£ x£ 1 0£ y£ 1.

! : x±y £ 1/4 (15 ).

:

y x +1/ 4

(*)

y ³ x -1/ 4.

& * S=1

, (*)

! * s. - s/S=s. -

s=1±2 s =1±2×1/2×3/4×3/4=1±9/16=7/16< 1/2. 4,

, ) .

y

 

 

y=x+1/4

 

 

 

1

 

 

y=x±1/4

 

 

 

 

s

 

 

 

 

s

S=1

 

 

 

1/4

 

s

 

0

1/4

1

x

$ . 1. 0 ), m-

) A B m(AÈB)£ m(A)+m(B). $ 1 ) ).

2.$), 2 )

( ) m).

185

3.$), σ- )

.

4.0 ), ) σ-

) R.

5.- 22 15. . 1 )

, . .

, 1.

6.+ .

± 0,9, ± 0,8 ± 0,7. #

?

7.0 k

, m n

.

p, ± q, ± r.

. , !

?

8.! , ) 18

.

9.[11, . 20]. 0

! ! ( ,

!

). , ,

6 . - ! 8 ,

5 , 3 . #

) ? ( : 7:1. (,

! 2:1

. + (1499±1557) ± %

, 0) #

(1501±1576).)

10.[11, . 30]. . )

n . (

!

() ). , n> 2

pn ( )

!

. $ ? . p2 p3. (,

n> 5 pn 2/3.

10.[11, . 23]. $

. $ A , B ±

, C ±

186

. $), A, B, C . . 1 ,

( 1 ?).

5.2. * +! "# $)

4 '93

). $ A ± ) [a, b]. .

m (A) ) A )

, *. 5

m (A) ) A b±a±m ([a, b]\A). .

, m (A)≤ m (A) m (A) ) *

A .

& 1. ) A

:, m (A)=m (A). $ 1 m(A)=m (A)

: A.

4 * '.

1.) L ' ) σ-

) R, ) *

).

2.' m: LR+

.

3.' : m(A+r)=m(A)

' ) A

r.

4.' ) ! 5.

, ' 3 )

3.

5.4 * ' ), *

. $ 1%% (

) 494.

.. - , )

+∞, ), m(R)=+∞. + ' R

, ) '. *1 (,95). $ H ± R

Q, r H. $) A ± 1

93 5 ' (1875±1941) ± * % ,

%, .

94. ;. 4 (1894±1919) ± , ) A-).

954 (1882±1969) ± ,

-) , + 0$, .

187

) 0£ a< 1, * 1%% r

) « » a H. + ) A

', m (A)=1 m (A)=0.

*2. $ ' )

BÍ [0, 1]. 0 1 [0, 1]

! ~: a~b , a±b . ,

~ ! 1, * [0, 1]

) . .

) 1 1

) B. ) B *

, 1 ,

0£ r£ 1 * bÎ B, ,

r±bÎ Q.

$), B '. $)

, * m(B). ;, ) B+q, qÎQÇ[-1, 1],

[0, 1]Í (B + q) [−1, 2] .

q

' :

 

1£ m( (B + q) )= m(B) £ 3.

q

1

, ) B

, *

(

).

- ) B :

1. 4

- B([0, 1])R+ [0, 1].

. ,

) !

), [6, . 80±81]:

2 ( $ 96). [0, 1] 4 #

B([0, 1])R+.

(*). & 2. # ,

( ) ) X * *

96 4 % " (1892±1945) ± ,

% .

188

- m97: B(X)®{0, 1}, m(X)=1 m({x})=0

xÎ X. . ;, )

*. ) , )

* ), 2

)

*. ! , : )

*. - ,

/- ),

 

, *

( . [1, . 79] [5, . 314±324], [14, . 261]).

$ X, m Y, h ± .

f:

X®Y ( ,

m,h- ), m- f-1(B) h-

) BÍ Y. ) ( ')

%, %

[a, b], a< b.

& 3. f: [a, b]®R ,

' ) {x: f(x)> c}, cÎ R. $ ) ! %.

(1)f ,

f-1(B) ) B '.

(2), % f, g: [a, b]®R )

98 f , g .

(3). % .

(4))

% R

) ) %.

(5), % f * ,

% 1/f.

3 ( 0, 1913 ). $

% ' f: [a, b]R * ,

# ε> 0 4 ' g: [a, b]R, m{x: f(x)¹g(x)}<ε.

- 3

% %.

97μ , ) X.

98+ % f g % 2.

189

,

3, * *

' ± '. $ 1 %

'. 9

% [3, 4, 6. 8, 9]. *

[2, 15]. ( *,

99 % )

4100 %

[a, b]

% C[a, b]

% [a, b]→R. 4. [4, . 423±429]. 4

0

[12]. $ . 1. 0 ), !

) '.

2.# ) )

! R+ {+∞}?

3.1.

4.0 ) 1.

5.$ , ) )

* *.

6.0 ), 2 )

* ) *.

7., * )

* .

8.$ %, *

.

9.0 ), ' ) A [a, b]

% χA,

1 A 0 [a, b]\A.

10.$ % ,

', .

11.$), )

% f, [a, b],

', f . )?

99 ! (1880±1956) ± , %

.

100 + 4 (1856±1894) ± .

190