Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Основные структуры классической математики

.pdf
Скачиваний:
24
Добавлен:
01.05.2015
Размер:
2.59 Mб
Скачать

;, a£ b f(a)£ f(b) a, bÎA. ,

f(a)£ f(b). +, , a = f(a)£ f(b)=b. $1 f * % !

A@J(X).

, ( %)

) X, A@J(X),

1. + .

) 3 3 !) ± % !.

0 ! A 1¹0

* ) X

. $ Spec A ± )

! A. 4 * )

.

3. . A *

* ( * *) 2 a

Spec A * (a] (* * ' % [a))

.

4. , (

) * * 2 * * 2 # 2 . A

'.

! , ". !

* ) )

%. ! %

. $1 3 ) ) X

) 1 ! A ) Y

1 *

:

) xÎX yÎY, (y] = A\[x).

9 % ) XY. , ! x1£ x2 X

% [x1) Ê [x2),

(y1] = A\[x1) ÍA\[x2) = (y2] ! 1 y1, y2ÎY, 1, , , y1£ y2. + .

- 3 4 :

5. . A

' . J(Spec A) * *

* A.

221

., % f: X Y

). ! J(X) J(Y) ρ- X Y. + ) f-1: J(Y) → J(X), f±1(U) J(X) ) ρ- U

) Y, !

%, * .

)

! A B. ! %

α: B A, * 0 1. $ 5 %

! % α: J(Spec B) → J(Spec A). 0 ) P Spec A :

f(P) ! 1 α-1({Q Spec A: Q ) P}). $ ) f: Spec A Spec B, ) *

%: α = f±1.

( ), ) Spec A J(Spec A)

! A,

! A, . 4 %

! ± 1

T0- .

4 , )

. 4. ) [5±7].

6. + #4 2

2:

(1)* * . *

', * #4 * 0 1;

(2)* *

;

(3)* T0-

. $ .

' "

1 )

X={a, b, c, d, e} * ! : ac, bc, bde (% be ). . !

J(X) . $

* 11 ! )

X: , χ1={a}, χ2={b}, χ3={a, b}, χ4={b, d}, χ5={a, b, c}, χ6={a, b, d}, χ7={b, d, e}, χ8={a, b, c, d}, χ9={a, b, d, e} {a, b, c, d, e}=X.

222

4 1 ) ) X ,

* X 1 T0- X, J(X) .

8 ) X

! J(X).

 

X

J(X)

X

χ8

χ9

e

c

d

χ5

χ6

χ7

 

b

 

χ3

χ4

a

 

 

 

 

 

 

 

 

χ1

 

χ2

0 * ) 1 ! J(X). .

, ) 1,

), χ1, χ2, χ4, χ5, χ7. 5

1, , ± 1 χ1, χ5, χ7, χ8 χ9. 9 χ1, χ5, χ7 ) .

, !

) 1

! J(X) ( ) % X:

χ1b, χ5d, χ7a, χ8e, χ9c. (1)

) ) 1 ! J(X)

) % X:

χ1a, χ2b, χ4d, χ5c, χ7e. (2)

$ J(X)

1 ! A 0≡ 1≡X.

1 A ),

. . % 1 !. ' ,

( ) , ) ) 1 A. $ ) % ) %, )

) 1. , ,

{0, χ1, χ2, χ3, χ5}, ) 1 χ5. , -

) A ) ! 1

%, ) ) 1 χ4. ! A

223

* * :

1) 1. 4

) (1) (2):

χ1b←χ2, χ5d←χ4, χ7a←χ1, χ8e←χ7 χ9c←χ5. $ . 1. $ ) 1 2.

2.$ 1±3.

3.4% ), 2.

?

4.Cn n-1 . ;, J(Cn) Cn+1. $ ) X=Cm Cn

2 . : ! J(X)?

5.$), 2 U

) X Y J(U)=J(XJ(Y),. . ! J(U) ). )?

6.# ! J(X) : X; X;

X?

7.# ! J(X) J(Y)

) X Y?

8.. ) 1

1 !.

9.) n-1 )

n≤ 3.

10.0 ), ) X !

± 1

' X. . , % ,

!

( ). + % " ,

* " AB BC * AC.

7.2.& &,! ,

) X ! L

) μ: B(X) → L, , μ( ) = 0, μ(X) = 1

μ(A B) = μ(A)+μ(B) A, B X. ± 1

X, μ , μ ) X.

$ X, ≤ ± ). # )

X 1 ,

1 ! L = J(X). $) 1

224

2 ) m: B(X) ® L. ,

J(X) ) )

T0- X, X, J(X) . $1 1 m({x}), xÎX, ± 1 ) 1 ! J(X). 0

A ÍX :

m(A) = [A]ÎJ(X) = L,

[A] ± ) A X. $

[AÈB] = [A]È[B], m: B(X) ® L ) X. $ m X, . .

m({x}) ¹ m({y}), x ¹ y X. 0, x, y

T0- X [x] ¹ [y], m({x}) ¹ m({y}). ;,

m(A) = 0 AÎB(X). # , m({x}) = [x] = {x}

1 x ) X.

) X

m X, ) * B(X) ( )

! L. $), m ) X

) m({x}), xÎX, )

) 1 ! L. + m

% .

0 ) aÎL ) Xa ÍX:

Xa = Èm-1(a) = È{AÎB(X): m(A) = a}.

+ Xa ! ) X, m

a. $), ) {Xa: aÎL}

 

 

 

 

2,

,

XaÇXb = Xab

XaÈXb = Xa+b

 

 

a, bÎL. 4

)

* .

 

 

 

 

 

 

 

. $ # * A ÍX aÎL .:

 

 

 

A ÍXa Ûμ(A) £ a.

 

 

! , ".

,

A ÍXa,

 

AÈXa = Xa,

 

m(A)+m(Xa) = m(Xa) = a. $1

m(A) £ a.

,

m(A) £ a.

+ m(AÈXa) = m(A)+m(Xa) = m(A)+a = a. (, AÈXa = Xa A ÍXa.

0 a, bÎL :

 

 

 

 

 

 

Xa ÍXb ÛXaÈXb = Xb Ûm(Xa)+m(Xb) = m(Xb) Ûm(Xa) £ m(Xb) Ûa £ b.

$1 XaÇXb Ê Xab

XaÈXb ÍXa+b. 4 ,

m(XaÇXb) £ m(Xa) = a

 

m(XaÇXb) £ m(Xb) = b,

, m(XaÇXb) £ ab,

XaÇXb ÍXab.

XaÈXb Ê Xa+b. "

225

x Xa+b. + p = μ({x}) ≤ a+b, p = p(a+b) = pa+pb. $

1 p L ), p = pa p = pb, . . p a p b. $1 Xp Xa Xp Xb. 4 , x Xp Xa Xb.

4, ) {Xa: a L} !

B(X), % ! L Xa a. ( ) X ! %:

x y μ({x}) ≤ μ({y}) x, y X.

, X, ≤ ± ). $),

X ) ) Xa . .

,

Xa = {x X: μ({x}) ≤ a}, a L.

$1 Xa

) X. , JX. 0 ) J = Xa a = μ(J) L. 0 x X

Xμ({x}) = {y X: μ({y}) ≤ μ({x}) = (x].

# ,

μ(J) = {μ({x}): x J.

4,

J = {Xμ({x}): x J} = Xμ(J) = Xa.

+ , * :

* 1. $ # X

4

* X * % *

.

0 X, μ

Y, ν ,

μ: B(X) → L

ν: B(Y) → T *

 

! L T.

' X, μ Y, ν

) f: X Y α: T L, , α ± ! %, * 0 1, Z Y

μ(f-1(Z)) = α(ν(Z)).

%.

. M, 2 )

X, μ .

226

* 2. 1 M 2 *

* * .

m: B(X) ® L ) X ) D- X, D = {0, 1} ± % 1 . - , ) xÎX

mx: B(X) ® D * :

 

 

μx

1, m(A) ³ m({x})

AÎB(X).

 

 

 

(A) =

 

 

 

 

 

 

 

0 −

 

 

 

 

4 (mx)x X ) X.

x, yÎX. -

m({x}) ¹ m({y}),

),

 

 

 

 

 

m({x}) £ m({y}).

+

mx({x}) = 1

¹ 0 = mx({y}).

#

,

mx ¹ my.

0,

 

1

m({x})

 

m({y}) ! m(B(X)) ,

 

mx({x}) = 1

¹ 0 = my({x}). , ) 1 m({x}) m({y}) ,

 

my({x}) = 0 ¹ 1 = mx({x})

 

 

m({x}) < m({y})

 

my({y}) = 1

¹ 0 = mx({y}) m({y}) < m({x}).

 

(mx)x X,

 

#

*

 

 

* m X? 0 ! 1

1 ) X: x1, x2, ¼ , xn. 0 k = 1, 2, ¼ , n μk = μxk . ( ) j: B(X) ® Dn

%:

j(A) = (m1(A), m2(A), ¼ , mn(A)) A ÍX.

Im j ) j !

! Dn. (, n- j({x}), xÎX, ±

5 ) 3 3.6, ) 3 7.1.

) ! Im j\{0}, + )

) 1 ! Im j = j(B(X)). $ 1 ! Im j % ! {Xa: aÎL} B(X), , % L. $1 ! Im j L %. -, %,

X, j X, m % ) .

. $ n-1 ) X

D- m1, m2, ¼ , mn. # !,

) j: B(X) ® Dn. + j * È-%

B(X) ! L = Im j Dn. ;, L

1 a ¹ 0 º (0, 0, ¼ , 0) 1

j({x}), xÎX.

227

4 D- (mk) = {m1, m2, ¼ , mn} n-1

) X ,

* :

1) (mk) ) X, . .

1 x, yÎX, * 1£ k£ n,

mk({x}) ¹ mk({y});

2)x, yÎX ) A ÍX,

mk({x})×mk({y}) = mk({A}) k = 1, 2, ¼ , n;

3)) 1 j({x}), xÎX, )

) 1 ! Im j.

2) , ! L = Im j

! ! Dn.

* 3. $ # X

μ « k) % μ X

{0, 1}-* k) X

( %# #4 * '). $ . 1. $ m ± , ) *

B(X) ) X ! L. 0 ), XaÇXb = Xab a, bÎL.

2. $), m ), *

). $), XaÈXb = Xμ({x}) Xa = Xμ({x})

Xb = Xμ({x}) xÎX a, bÎL.

3.0 % .

4.$ , %

) %.

5.0 ) ) 2.

6., ! D- ) mx

X.

7.# mx ! % L ® D?

8.% D-

) X Y. 5 %?

9.) (mk) n-1 ) m ¹ n ?

10.0 ) ) 3.

11. 4% ) 2

D- . 0 ) ).

228

# 7

1. ! * % !. . *

% // -

. , : 4. ± . XXXII. ± ., 1986. ± 4. 14±29.

2.' ". + !. ± .: . , 1984. ± 568 .

3.. . ± .: -', 1963. ±

292 .

4.. + ). ± .: , 1965. ± 456 .

5.0. . + !. ± #: - - #&$-, 1995.

±40 .

6." ". * !. ± .: , 1982. ± 456 .

7.$ . . + . ± .: . , 1986. ± 440 .

8.. 4

! // $ : $

. ± .: , 1960. ± 4. 10±20.

9.+ . $ . ± .: , 1990.

±440 .

10.Stone M. Applications of the theory of Boolean rings to general topology // Trans. Amer. Math. Soc. ± 1937. ± V. 41. ± < 3. ± P. 375±481.

(

$ , *

) ,

, , ± %

). ) «4

», ) .

(1)! . (., + :. !. # % .

±.: . , 1957.

(2)* 3., & 8. n- . ± .: , 1973. ± 246 .

(3)* 8., . . ± .: , 1965. ± 166 .

(4). "., 0' . !. . . ±

.: . , 1982. ± 148 .

(5)" (., . & %. ± .: , 1971.

±248 .

(6)1 ., , +. .

. ± .: , 1971. ± 256 .

(7)1 . p- , p- -

%. ± .: , 1982. ± 192 .

229

(8)1 <. . . ±

.: , 1983. ± 304 .

(9): . ( . ± .: , 1968. ± 128 .

(10) $ ., , !.

0 %%

.

. . ± .: , 1972. ± 279 .

(11)!. : . ± .: , 1966. ± 199 .

(12)- $ . . ± .: , 1974. ± 160 .

(13)- -. & % . ± .: , 1965. ± 175 .

(14). 5 . ± .: , 1991.

±151 .

(15)%". + . ± .: , 1977. ±

256 .

(16), . %. ± .: , 1977. ±

208 .

(17)) * . . ± .: , 1970. ± 160 .

(18)& ". &. ± .: , 1970. ± 240 .

230