Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Основные структуры классической математики

.pdf
Скачиваний:
26
Добавлен:
01.05.2015
Размер:
2.59 Mб
Скачать

(ab)p=abH=aH×bH=abp,

p %,

' A %- A/H.

$ a: A ® B % (

), . . (xy)a=xaya x, yÎA. , a

1 1 : 1a=1 (a-1)a=(aa)-1 aÎ A.

) Ker a={aÎA: aa=1}, ' a,

A.

-, . $ # '

α: A ® B A B 4

'β: A/Kerα → B, πβ=α.

;, ) g ) %

(aKer a)b = aa aÎ A.

' , a 60, 2,

2 %. pb=a

* :

α

!

π β

!/Ker α

%.

1.$ a ) r

r .

a % R\{0}

R+ )

. $ Ker a={-1, 1}, R\{0}/{-1, 1}@R+.

2. A

61 n- (n³ 2) 1%%. -

60&, ) α .

61) (

). ),

.

61

% a: A ® R\{0}, * )

M det M. $ Ker a={MÎ A: det M=1}

% A/Ker a@R\{0}.

3. 0 r )

ra = cos 2pr + i×sin 2pr.

$ % a R

C1

. - Ker a=Z R/Z@C1. & ( ) %- R/Z ) )

.

4. . Z 1

! ºn n³ 062,

nZ (n³ 0), %- Z

_____

% Zn = { 0,1,..., -1}

n. 4. 2 1.2.

. 2. 0 , %- , % 1 !

. ) ,

) % 2.

., ! 1 r A

2 A, ! r

: a, b, c, dÎ A ! arb crd

(ac)r(bd). 1 A

) ! % A

. $ . 16. $), )

, ),

1 .

17., )

A H (A:H).

18.0 HÍ K A ) :

(A:H)=(A:K)×(K:H).

19. 0 ), 2

.

62 $ n=0 ! , n=1 – !, *

.

62

20.0 ), H A

, H ) 1 h )

)63 1 aha-1 (aÎ A).

21.$ , ! ) ) 1

A 1 A.

22.) , * )

1.

23., ) aH× bH

H

a b.

24.0 ), % A ® B

A.

25.0

) 1. - , H A, ! ~

(a~b Û aH=bH) 1 A. , r 1

A, [1]ρ A.

26.0 ) % .

2.2. -+ ' # #'' , +$,

*

$ ( , ,

) – ) ! %,

.

. 9

, *, ,

.

,

) . 0 1 ( * IV . 8.).

%

) 1 ). / ,

%, %,

( )

&64 1801 ). )

% ) .

63 9 a b A , a= b -1

1 c A.

64 # & (1777–1855) – .

63

- 1

. % . 0 . #

1 )

), . .

. )

. 0,

% .

. 0 ) % ).

)

, ) 1.

) , *,

*, « », !

1 ). $1

! * . . ! , 1 )

[10], [21] [25]. , *

* . . ,

, )

! , [42, 25].

) * ):

1)! – ;

, *

2;

3)) !

) *, %

2 * * !.

+

. . 4 , – 1 ,

)

. "

.

; ( * )

!, * * :

1): (ab)c=a(bc) a, b, c !;

2): ab=ba a, b !;

64

3)* 1 1ÎA: a×1=1×a=a

) a !;

4): ac=bc a=b a, b, cÎ!;

5)! 1, 1, . .

) ab=1 a=1.

0 1

!.

9 bÎ! 1 aÎ!,

1 cÎ!, a=bc. 4: b a

«b|a»; a b – «a b»; a – b a

b.

!

. |:

b|a ($cÎ!) a=bc.

. 1 ! ;

.

: !, ! « »

, , ,

* 1 ,

) ?

- , –

. 5 1

. - , , ! |

. :, ,

!. - , * 1 !

% ! , )

1 1 !. 0,

c 1 !

. . , *

5) 1 ! |.

) * ) 5). $

! 1)–4). 9 a, bÎ!

– «a~b»,

: b|a a|b. 5 1

!

) 1 ) 1 !.

, 1 1 1

1 !; ) ) 1

!. ! 1

65

!. 4 * % !/ )

– « » !. $ , !

, )

1 2)–4),

[7].

! 0 – .

4 !, | )

! 1 1. , b|a, a/b

a b; b(a/b) = a. 9 ¹1 ! :

, a=bc (a=b a=c);

, a | bc ( a | b a | c );

,

1 !;

, )

) )

).

. 1 ) ) 1,

* ,

) !, | . . 1 ),

1 . $ ! :

, ) 1 );

, 1

).

& ± 1 ,

* %. (, [25]

5). ) )

1 N

).

%. 4 ± * . 0 ±

1 a1,a2 , ...,an A 1 !,

(a1,a2 , ...,an ) , 1 1 ( . .

* ) * .

0 %. 4 ±

. # ± 1 a1,a2 , ...,an , [ a1,a2 , ...,an ].

;,

(a1,a2 , ...,an ) = inf(a1,a2 , ...,an )

 

[ a1,a2 , ...,an ] =

= sup(a1,a2 , ...,an )

)

!,

| . # )

66

, *

, * , . + .

$ ! ',

1 . 0.

& %,

1 ± .

.

*1. ! = N\{2}.

1 4, 8, , 2 , ±

. $ 1

! . 9 4 6 . 0=1,

. #, ) * {24, 36, 48, 60, ¼ }

! 1 |. )

* 1 12 24 ! {1, 3, 4}

! 1 ! « », , * (12, 24). $1 ) !

%, , . 4 ), 1 36

) *

: 36= 3×3×4=6×6.

(, [4, . 23]

4k+1, )

% ( ?). 0. . 5

« %»; ±

%.

* 2. ! = (0, 1]

) £ 1 %

, * 1. b|a Ûa£ b. $ 1 2

), % .

,

$ ' '

!.

1)1|a.

2)a|a (' %).

3)a b Ûa=b (%).

4)a|b & b|c a|c (%).

5)a|b a|bc.

67

6)a|b Û ac|bc.

7)p¹1 Û"a (( , )=1 | ).

8):# 2 .

, !( !

1.-$ -1 % * 2 ,

4 #.

2.b|a Û(a,b)= b Û[a,b]=a. : (a, )= [a, ]=a, (1, )= 1,

[1, ]=a.

3.(a,b)=(b, ), [a,b]=[b, ] ( %).

4.((a,b), )=( , (b,c)), [[a,b], ]=[ , [b,c]] (

%).

5.0 (a,b) ¹ 1, a b # 4 %¹1.

6.(a,b)=1 & | ( ,b)=1.

7.+ 4 (a,b) ( /(a,b), b/(a,b))=1.

8.+ 4 [a,b] 4 (a,b)

(a,b)×[a,b]=ab.

9.+ 4 (ac,bc) 4 (a,b)

(ac,bc) = (a,b) . ! -1.

10.+ 4 (a,b) 4 ( /(a,b), b /(a,b))

# 4 [a,b].

( !( !

4 1 ! |.

4 2, 3, 5±7 « ». 4 4 9 [12], . 84±85.

8 10.

/ ' 8. $ [a,b]=k. + k = as = bt ab = kd

s,t,d A, b = ds a = dt , . . d ± * ab. * 1 a b. -

a = cx b = cy

* x, y Î A. 0 bx = cyx = ay

* a b,

. . bx = ay = kz = asz = btz z A.

$1 x = tz y = sz . (, dt = a = cx = ctz , , d = cz c | d . 4, d = (a,b) (a,b) ×[a,b] = dk = ab .

/ ' 10. $), 10(a,b) = d . + a = ds b = dt * s,t A. $

7 (s,t) = 1. 9 k = std = at = bs ) *

a b. * l 1 a b:

l = ax = by = dsx = dty

 

x, y Î A.

+ sx = ty .

$

 

*

(sx,tx) .

$

 

9

68

x = (s,t)x = (sx,tx) = (ty,tx) = t(x, y) . l = ax = at(x, y) = k(x, y) , . . k | l . (, k = [a,b] .

* 1. $ # ! 2

#4 :

) 4 (a,b) 4 (ac,bc) * c;) (a,b)=1 4 (ac,bc) c;

) 4 (a,b) 4 [a,b];) (a,b)=1 4 [a,b];

) (a,b)=1&b|ac b|c;) (a,b)=1 (a,bc)=(a,c);

) (a,b)=1&a|c&b|c ab|c.

2 ) ± )

) (a,b)=1=(a,c) (a,b )=1.

! , ". 9 )± ) )

: ) ) ) ) ) ) ) ) ).

- ) ) ) ) , ) ) 10.) ). $ (a,b)=1 b|ac. $ 8 [a,b]=ab. $

ac ± * a b, ab|ac, b|c.

) ). $ (a,b)=1. $), 1 a, bc a, c

) * . ;, *

a, c * a, bc. , *

d 1 a, bc. + (d,b)=1 d|c ).

) ). $ (a,b)=1 a|c, b|c. 9 ) *

b(c/b) = c. $ ) a|(c/b), . . c/b = ax

x A. . c = abx ab|c.

) ). $), (a,b)=1 b|ac. + |ac,

) ab|ac, . . b|c.

) ). $ d = (a,b) ). c A

), dc . 0 1 bc. , dc ± * 1 bc. *

l

1

bc: ac = lx

 

bc = ly (x, y A) . +

acly = bclx ,

ay = bx .

0 b | ay

 

(b / d ) | (a / d ) y . +

(a / d,b / d ) = 1, (b / d ) | y

). 0 z A

y = (b / d )z , bc = ly = lz(b / d )

cd = lz , . . l | cd . 4,

cd = (ac,bc) .

 

., ) ). $ (a,b)=(a, )=1 d ± *

1 bc. ) d|c. (, d|1, . . d = 1. 4,

(a,bc) = 1.

69

* 2 [25]. 0

), 2 # . * 3. :# 2 , #4

% * * 2, .

! , " !

)

).

/ !

%, ) !, |

: ! * *

.

* 4. %

.

! , "

* %

.

* 3. $ ! ±

% [0,1],

0 0 * ! ,

%- 1. ' 1 f g

!, 1, *

( f + g)1/ 2 ¹ 1. $1 ! ) ) 1,

, 1 ).

! %. ,

1 C(X , R+ )

%,

), *

( . [8], § 1).

&

1. ' !

#4 :

(1)# 2 ! # -1 (2

* ' *

7);

(2)# 2 ! ;

(3)), ), ) ) 1;

(4)#

( , [b,c]) = [(a,b), (a, )] [ , (b,c)] = ([a,b], [a, ]);

70