§15. Ортогональная матрица.

Определение. Квадратная матрица Q называется ортогональной, если Q^TQ=E.

Из определения сразу следует, что для ортогональной матрицы Q^T=Q^1. Это значит, что также выполнено QQ^T=E.

Элемент [QQ^T]j; i получается в результате умножения i-ой строки матрицы Q на j-ый столбец матрицы Q^T, который состоит из элементов j-ой строки матрицы Q. Согласно определению [QQ^T]j; i=j; i. Итак, мы имеем, что произведение каждой строки матрицы Q на себя должно давать 1, а произведение двух разных строк должно давать 0:

(q1; i)²+(q2; i)²+ … +(qn; i)²=1;

q1; iq1; j+q2; iq2; j+ … +qn; iqn; j=0, ij.

Из определения также получаем, что

detQ^T·detQ=detE=1.

Но detQ^T=detQ  (detQ)²=1. Значит, для ортогональной матрицы detQ=1.

Примеры ортогональных матриц:

.

Строки ортогональных матриц порядка 3 представляют собой координаты трёх единичных взаимно перпендикулярных векторов в пространстве.

Предложение 5. Если Q₁ и Q₂– ортогональные матрица, то матрицы Q₁^T и Q₁Q₂ тоже являются ортогональными.

Докажем для примера только второе утверждение:

(Q₁Q₂)^T=Q₂^TQ₁^T=Q₂^1Q₁^1=(Q₂Q₁)^1.

Предложение 6. Любая ортогональная матрица порядка 2 представима в виде

, если detQ=1,

, если detQ=1.

Задания для самостоятельного решения.

Номер варианта выбирается согласно порядковому номеру студента в журнале преподавателя.

I. Решить систему уравнений с помощью правила Крамера. Сделать проверку.

^1.

^2.

^3.

^4.

^5.

^6.

^7.

^8.

^9.

^10.

^11.

^12.

^13.

^14.

^15.

^16.

^17.

^18.

^19.

^20.

^21.

^22.

^23.

^24.

^25.

^26.

^27.

^28.

^29.

^30.

II. Решить систему линейных уравнений

а) с помощью правила Крамера;

б) с помощью обратной матрицы.

^1.

^2.

^3.

^4.

^5.

^6.

^7.

^8.

^9.

^10.

^11.

^12.

^13.

^14.

^15.

^16.

^17.

^18.

^19.

^20.

^{21. 26.}

^{22. 27.}

^{23. 28.}

^{24. 29.}

^{25. 30.}

Глава 2. Комплексные числа и многочлены §1. Комплексные числа. Операции над ними.

Комплексные числа впервые возникли в связи с необходимостью иметь решение для квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом. Впоследствии они нашли широкое применение во всех разделах математики и физики.

Определение. Обозначим i=. Число i называется мнимой единицей. Таким образом, выполнено i²=1.

Определение. Комплексным числом называется формальное алгебраическое выражение вида z=a+bi, где a, bR. Число a называется действительной частью, выражение bi – мнимой частью. Обозначаем a=Rez, bi=Imz. Совокупность всех комплексных чисел обозначаем C.

Пусть z₁=a₁+b₁i, z₂=a₂+b₂i. Тогда сумма, разность и произведение этих чисел определяется так:

z₁+z₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i, z₁z₂=(a₁a₂)+(b₁b₂)i,

z₁·z₂=(a₁+b₁i)·(a₂+b₂i)=a₁a₂+a₁b₂i+a₂b₁i+b₁b₂i²=

=(a₁a₂b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i.

Определение. Число z;¯ =abi называется сопряжённым (комплексно сопряжённым) к числу z=a+bi.

Заметим, что (z+z;¯)=a=Rez, (zz;¯)= bi=Imz. Теперь умножим:

z·z;¯ =(a+bi)·(abi)=a²(bi)²=a²+b²

Получилось действительное число. Теперь можем определить деление.

= = = =

= + i.

Таким образом, для того, чтобы совершить деление, мы числитель и знаменатель дроби домножаем на число сопряжённое к знаменателю. Тогда в знаменателе получится действительное число.

Комплексные числа принято изображать точками на плоскости, где задана декартова система координат. Число z=a+bi изображается точкой с координатами (a, b). Тогда z;¯ изображается точкой с координатами (a,b), симметричной относительно Ox (чертёж см. в следующем параграфе). Будем говорить, что z – это и есть точка с координатами (a, b).