- •Аналитическая геометрия и высшая алгебра
- •Глава 1. Матрицы и определители §1. Матрицы. Основные определения.
- •§2. Линейные операции над матрицами.
- •§3. Линейная зависимость строк и столбцов.
- •§4. Определитель матрицы.
- •§5. Свойства определителя.
- •§6. Приведение к диагональному виду.
- •§7. Миноры произвольного порядка. Теорема Лапласа.
- •§8. Перестановки.
- •§9. Формула полного разложения определителя по элементам матрицы.
- •§10. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.
- •§11. Ранг матрицы.
- •§12. Умножение матриц.
- •§13. Обратная матрица.
- •§14. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •§15. Ортогональная матрица.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Глава 2. Комплексные числа и многочлены §1. Комплексные числа. Операции над ними.
- •§2. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •§3. Многочлены.
- •§4. Комплексные матрицы.
- •Глава 3. Векторные пространства
- •§1. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов
- •§2. Базис и координаты в векторном пространстве
- •§3. Преобразование координат
- •§4. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского
- •§5. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Матрица Грамма.
- •§6. Векторные подпространства. Ортогональное дополнение.
- •Глава 4. Системы линейных уравнений §1. Теорема Кронекера-Капелли. Нахождение решения.
- •§2. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
- •§3. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- •§4. Примеры решения задач.
- •Советы по поводу особых ситуаций.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Глава 5. Линейные операторы §1. Понятие линейного оператора. Его матрица, ранг и дефект.
- •§2. Действия над линейными операторами.
- •§3. Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса.
- •§4. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- •§5. Линейные операторы в евклидовом пространстве
- •Глава 6. Билинейные функции и квадратичные формы §1. Линейные функции
- •§2. Билинейные функции
- •§3. Приведение квадратичной формы к диагональному и каноническому виду
- •§4. Одновременное приведение двух квадратичных форм к диагональному виду
- •§5. Пространство Минковского m4.
- •Глава 7. Элементы теории групп §1. Понятие группы. Примеры.
- •§2. Группа преобразований плоскости Минковского.
- •Используемые сокращения
- •Алфавитный указатель Литература
§14. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
(1.16)
Как мы уже выяснили, систему (5.1) можно записать в виде одного матричного равенства:
АX = B. (5.2)
Где
А = , X = , B = .
Предположим, что матрица А не вырождена. Умножим обе части равенства (4.2) слева на обратную матрицу А1:
А1(АX)=А1B
По свойству ассоциативности это равносильно
(А1А)X = А1B EX = А1B X = А1B. (5.3)
Тем самым, если мы знаем обратную матрицу, мы можем вычислить столбец решений.
Пример. Найти решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы:
Решение. Составляем матрицу данной системы:
А = .
Вычисляем алгебраические дополнения. При этом стараемся располагать их на листе бумаги так же, как расположены элементы матрицы. При этом важно помнить, что следует поставить знак минус в тех случаях, когда i+j нечётно.
A11 = = –19 A12 = – = –1 A13 = = 14
A21 = – = –3 A22 = = –2 A23 = – = –7 (5.4)
A31 = = 7 A32 = – = –7 A33 = = –7
После того, как уже найдены алгебраические дополнения, мы можем вычислить определитель матрицы А с помощью разложения по первой строке:
det А = a11A11 + a21A12 + a31A13 = 1·(19) + 2·(–1) + (1)·14 = – 35.
(мы умножаем каждый элемент первой строки матрицы на его алгебраическое дополнение и получившиеся числа складываем). Точно так же можно использовать разложение по любой другой строке.
Выписываем матрицу А1, и при этом не забываем, что элементы первой строки в вычислениях (4.4) записываются в первый столбец, второй строки во второй столбец, третьей строки – в третий столбец:
А1=
Находим решение по формуле (4.3):
X = А1B = =
= = =
Тем самым мы нашли, что
= x1 = 1, x2 = 2, x3 = 0.
Прежде, чем писать ответ, делаем проверку:
Ответ: (1, 2, 0).
Если проверка не получается.
1. Проверьте, не забыли ли вы поставить знак минус при вычислении алгебраических дополнений.
2. Проверьте, не забыли ли вы при составлении обратной матрицы выписать алгебраические дополнения по принципу: строка – в столбец.
3. Проверьте, не пропустили ли вы при составлении самой матрицы А где-нибудь знак минус.
4. Проверьте, правильно ли вы переписали условие.
5. Пересчитайте ещё раз алгебраические дополнения.
6. Пересчитайте det А.
7. Если по-прежнему проверка не получается, проверьте правильность составления А1 путём умножения матриц: АА1= E. Если, например, при умножении 1 строки матрицы А на второй столбец матрицы А1 получается не 0, а другое число, то ошибку следует искать во втором столбце матрицы А1. Аналогично, сделав проверку А1А = E, мы можем определить номер строки в А1, в которой содержится ошибка. Если вместо единичной матрицы получается диагональная матрица, у которой на диагонали стоит не 1, а другое число, то неверно найден det А.