Министерство образования Республики Беларусь
УО «Витебский государственный университет им. П.М.Машерова»
Аналитическая геометрия и высшая алгебра
КУРС ЛЕКЦИЙ С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Для самостоятельной работы студентов физического факультета
Витебск 2010
УДК 514.072
ББК 22.151 р 30
Автор: доцент кафедры геометрии и математического анализа
УО «ВГУ им. П.М.Машерова», кандидат физико-математических
наук М.Н.Подоксенов
Рецензент: доцент кафедры прикладкой математики УО «ВГУ им. П.М.Машерова,
кандидат физико-математических наук Л.В.Командина
Подоксенов М.Н.,
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ВЫСШАЯ АЛГЕБРА. КУРС ЛЕКЦИЙ С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ: Электронный ресурс/ М.Н.Подоксенов.– Витебск: Издательство УО «ВГУ им. П.М.Машерова, 2010.–135 с.
Данное учебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с типовой учебной программой по курсу «Аналитическая геометрия и высшая алгебра» для студентов физического факультета обучающихся по специальности «физика» (по направлениям). Излагаются теоретический материал и примеры решения задач.
Рекомендуется также для студентов очного и заочного отделений математического факультета, обучающихся по специальности «Математики и информатика».
УДК 514.072
ББК 22.151 р 30
ISBN Подоксенов М.Н., 2010.
Глава 1. Матрицы и определители §1. Матрицы. Основные определения.
Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел. Матрицу принято обозначать большой буквой латинского алфавита, а её элементы – такой же маленькой буквой с двумя индексами, первый (или верхний) из которых обозначает номер строки, а второй (или нижний) – номер столбца, в которых находится данный элемент.
Говорим, что матрица имеет размер mn, если в ней m строк и n столбцов. Матрица размера mn в общем виде выглядит так:
Например,
A= – (1.1)
это матрица, состоящая из 2 строк и 4 столбцов. Говорим, что она имеет размер 24. В ней a1;1=1, a2;1=2, а a1;2=6. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковый размер и равны между собой все элементы, стоящие на одинаковых местах.
Матрица размера nn называется квадратной матрицей порядка n. Элементы квадратной матрицы, у которых номера строки и столбца совпадают, образуют главную диагональ. Если все элементы, стоящие вне диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной. Диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы называется единичной и обозначается буквой E. Например, единичная матрица порядка 3 имеет вид
E=.
Обозначим
j; i =
Эта величина называется символом Кронекера. Можно сказать, что элементами единичной матрицы и являются числа j; i.
Если все элементы матрицы, стоящие ниже (выше) главной диагонали равны нулю, то матрица называется верхнетреугольной (нижнетреугольной). Например, следующая матрица является верхнетреугольной:
B=. (1.2)
Матрица, состоящая целиком из нулей называется нулевой и обозначается O.
Транспонированием матрицы A называется такая перестановка её элементов, при которой каждый элемент aj; i меняется местами с элементом ai; j. Матрицу, которая получается в результате транспонирования обозначаем AT. Например, для матриц (1.1) и (1.2):
AT=, BT=.
Другими словами, при транспонировании матрицы меняются ролями строки и столбцы: элементы первой строки матрицы выписываются в первый столбец, элементы второй строки – во второй столбец, и т.д. Для квадратных матриц транспонирование представляет симметрию матрицы относительно главной диагонали. На примере матрицы (1.2) мы показываем, какие элементы меняются между собой местами:
.
Матрица, которая обладает свойством A=AT, называется симметрической. Симметрической может быть только квадратная матрица, и для всех её элементов выполняется равенство ai; j=aj; i. Матрица, которая обладает свойством A=AT, называется кососимметрической. Кососимметрической может быть только квадратная матрица, и для всех её элементов выполняется равенство ai; j=aj; i. Для диагональных элементов кососимметрической матрицы мы получаем равенство ai; i=ai; i; значит, обязательно все диагональные элементы равны нулю. Примеры симметрической и кососимметрической матриц:
, .