§4. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Определение. Пусть Lⁿ – векторное пространство, а A:L^{n –} Lⁿ – линейный оператор, действующий в нём. Подпространство L^kLⁿ называется инвариантным относительно действия оператора A, если для каждого xL^k его образ Ax тоже принадлежит L^k. Это можно записать так: AL^kL^k.

Определение. Число  называется собственным числом или собственным значением оператора A:L^{n –} Lⁿ, если существует ненулевой вектор x, такой что

Ax=x. (5.6)

Вэтом случае x называется собственным вектором оператора A, соответствующим числу .

Примеры. 1. Пусть l – некоторая прямая в пространстве, H_ представляет собой поворот вокруг прямой l на угол . Тогда совокупность всех векторов, перпендикулярных к l представляет собой инвариантное подпространство в V³. Совокупность всех векторов коллинеарных l представляет тоже представляет собой инвариантное подпространство.

Более того, все эти векторы при повороте переходят в себя: H_y;\s\up8(( = y;\s\up8((. Значит, все эти векторы являются собственными для оператора H_ и соответствующее собственное значение равно 1.

2. Пусть C^(R) – пространство, состоящее из всех бесконечно дифференцируемых на R функций. Совокупность всех функций вида a_o+a₁sint+a₂cost, a_o, a₁, a₂R представляет собой трёхмерное векторное подпространство в C^(R). Данное подпространство инвариантно относительно оператора дифференцирования. Функции e^at являются собственными векторами для оператора дифференцирования и соответствующее собственное значение равно a. Действительно, D(e^at)=ae^at.

Пусть в пространстве Lⁿ выбран базис и A – матрица оператора A:L^{n –} Lⁿ. Как найти собственные векторы и собственные числа оператора? Пусть X – координатный столбец искомого собственного вектора x. Тогда должно выполняться

AX=X. (5.6)

Пусть E – единичная матрица порядка n. Тогда (5.6) равносильно

AX=EX  AXEX=0 

 (AE)X=0. (5.7)

В развёрнутом виде представляет собой однородную СЛУ с матрицей AE относительно неизвестных координат вектора x:

(5.7)

Согласно теореме 2 главы 4 эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда

det(AE)=0. (5.8)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для матрицы A. В развёрнутом виде оно выглядит так:

= 0 (5.8)

Если раскрыть определитель, мы получим многочлен степени n относительно переменной , который называется характеристическим многочленом для матрицы A. Согласно следствию из основной теоремы алгебры комплексных чисел, уравнение (5.6) имеет в точности n комплексных решений, среди которых могут быть равные, и могут быть действительные. Если нас интересуют только действительные собственные векторы, то для нахождения их мы используем только действительные собственные числа. Любой многочлен нечётной степени имеет хотя бы один действительный корень. Поэтому любой линейный оператор, который действует в пространстве нечётной размерности, имеет хотя бы один собственный вектор.

Упражнение. Убедитесь самостоятельно, что после раскрытия определителя, уравнение (5.6) для матрицы порядка 2 примет вид:

²(trA)+detA=0,

где trA=a1;1+a2;2 – след матрицы A (сумма её диагональных элементов). Для матрицы порядка 3:

³+(trA)²+I₂(A)+detA=0,

где

I₂(A)= ++ –

сумма диагональных миноров второго порядка в матрице A.

Предложение 5. Все собственные векторы, соответствующие одному и тому же собственному значению линейного оператора A:L^{n –} Lⁿ, вместе с нулевым вектором образуют векторное подпространство в Lⁿ. В частности, если вектор x собственный, то x при 0 – тоже собственный и соответствует тому же собственному значению.

Доказательство. Пусть Ax=x, Ay=y. Тогда

A(x+y)=Ax+Ay=x+y=(x+y),

A(x)=Ax=(x)= (x),

Таким образом, векторы x+y и x тоже являются собственными для оператора A и соответствуют тому же собственному значению . Именно это и надо было доказать.

Можно рассудить иначе. Координаты векторовx и y удовлетворяют одной и той же системе линейных однородных уравнений. А мы уже доказали, что все решения такой системы образуют векторное пространство.

Предложение 6. Если собственные векторы x₁, x₂,…, x_k соответствуют попарно различным собственным значениям ₁, ₂,…, _k, то эти векторы линейно независимы.

Доказательство. Индукцией по числу k (количеству векторов).

Пусть k=2. Пусть x₁, x₂ линейно зависимы. Тогда x₂=x₁ и согласно предложению 5 они должны соответствовать одному и тому же собственному значению. Противоречие. Значит, наше предположение, что x₁, x₂ линейно зависимы, неверно.

Пусть теперь нам известно, что теорема справедлива для k1 векторов. Пусть векторы x₁, x₂,…, x_k удовлетворяют условиям теоремы. Предположим, что существует их линейная комбинация, равная нулевому вектору:

₁x₁+₂x₂+…+_kx_k=o;¯. (_*)

Нам нужно доказать, что она тривиальная. Это и будет по определению означать, что векторы x₁, x₂,…, x_k линейно независимы. Применим к обеим частям равенства оператор A:

A(₁x₁+₂x₂+…+_kx_k)=Ao;¯  ₁₁x₁+₂₂x₂+…+_k_kx_k=o;¯ (_**)

Домножим равенство (_*) на _k и вычтем из получившегося равенства равенство (_**):

₁(_k ₁)x₁+₂(_k ₂)x₂+…+_k1(_k _k1)x_k1+_k(_k _k)x_k=o;¯.

₁(_k ₁)x₁+₂(_k ₂)x₂+…+_k1(_k _k1)x_k1=o;¯.

Согласно предположению индукции, векторы x₁, x₂,…, x_k1 линейно независимы. Значит, все коэффициенты в последней линейной комбинации равны нулю:

₁(_k ₁)=₂(_k ₂)=…=_k1(_k _k1)=0.

Поскольку все числа ₁, ₂,…, _k различные, то неизбежно выполняется

₁=₂=…=_k1=0.

Тогда из равенства (_*) следует _kx_k=o;¯. Собственный вектор по определению не является нулевым. Значит, _k=0. Итак, в равенстве (_*) все коэффициенты равны нулю, а значит векторы x₁, x₂,…, x_k линейно независимы.

Предложение 7. Если A и A  матрицы одного и того же оператора в различных базисах, то характеристические многочлены этих матриц совпадают.

Доказательство. Пусть С  матрица перехода от одного базиса к другому. Тогда A=С^1AС. Кроме того, очевидно что E=С^1EС. Отсюда получаем

det(AE)=det(С^1AСС^1EС)=det(С^1(AE)С)= =detС^1det(AE)detС=det(AE).

Это предложение позволяет нам говорить о характеристическом многочлене линейного оператора, а не его матрицы.

Предложение 8. Пусть собственное число _o является корнем характеристического многочлена кратности s. Тогда ему соответствуют не более чем s линейно независимых собственных векторов (без доказательства).

Корню кратности может соответствовать меньше, чем s собственных векторов.

Пример. Пусть матрица оператора в некотором базисе имеет вид

A=.

Характеристическое уравнение:

= 0  (1)³=0

имеет один корень ₁=1 кратности 3. Матрица A₁E и система уравнений для нахождения собственных векторов имеют вид:

A₁E= ;

Этой системе удовлетворяет только один (с точностью до пропорциональности) собственный вектор u(1, 0, 0).

Теорема 5.1. Если линейный оператор A:L^{n –} Lⁿ имеет n различных собственных значений, то существует базис в пространстве Lⁿ относительно которого оператор задаётся диагональной матрицей.

Доказательство. Пусть линейный оператор A:L^{n –} Lⁿ имеет n различных собственных значений ₁, ₂,…, _n. Тогда согласно предложению 6, соответствующие собственные векторы x₁, x₂,…, x_n линейно независимы, а значит они образуют базис в Lⁿ. Имеем

Значит, матрица оператора A имеет вид в данном базисе:

A=.

Следствие. Если все корни характеристического многочлена матрицы A различны, то существует такая невырожденная матрица С, что матрица С^1AС является диагональной.